Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7120 / 11042
↖ ↑ ↗
← S 52.935397°
W 23.554687°		 ← 1 472.56 m → S 52.935397°
W 23.532715°		 →
↑
1 472.40 m
↓
↑
1 472.40 m
↓
S 52.948638°
W 23.554687°		 ← 1 472.11 m →
2 167 872 m²		 S 52.948638°
W 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434600830078125 y=0.673980712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434600830078125 × 214)
    floor (0.434600830078125 × 16384)
    floor (7120.5)     		tx = 7120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673980712890625 × 214)
    floor (0.673980712890625 × 16384)
    floor (11042.5)     		ty = 11042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7120 / 11042 ti = "14/7120/11042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7120/11042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7120 ÷ 214
    7120 ÷ 16384     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11042 ÷ 214
    11042 ÷ 16384     		y = 0.6739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09296131133728))-π/2
    2×atan(0.335222324740573)-π/2
    2×0.323449682135773-π/2
    0.646899364271546-1.57079632675     		φ = -0.92389696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92389696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.935397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7120 KachelY 11042 -0.41110685 -0.92389696 -23.554687 -52.935397
    Oben rechts KachelX + 1 7121 KachelY 11042 -0.41072336 -0.92389696 -23.532715 -52.935397
    Unten links KachelX 7120 KachelY + 1 11043 -0.41110685 -0.92412807 -23.554687 -52.948638
    Unten rechts KachelX + 1 7121 KachelY + 1 11043 -0.41072336 -0.92412807 -23.532715 -52.948638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92389696--0.92412807) × R
    0.000231109999999979 × 6371000     		dl = 1472.40180999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92389696--0.92412807) × R
    0.000231109999999979 × 6371000     		dr = 1472.40180999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41072336) × cos(-0.92389696) × R
    0.000383490000000042 × 0.602715136724911 × 6371000     		do = 1472.56253620333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41072336) × cos(-0.92412807) × R
    0.000383490000000042 × 0.602530704919987 × 6371000     		du = 1472.1119296898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92389696)-sin(-0.92412807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602715136724911-0.602530704919987)×R²
    abs(-0.41072336--0.41110685)×0.000184431804924223×R²
    0.000383490000000042×0.000184431804924223×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184431804924223×40589641000000     		ar = 2167872.01636931m²