Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7113 / 10942
↖ ↑ ↗
← S 51.590722°
W 23.708496°		 ← 1 517.95 m → S 51.590722°
W 23.686523°		 →
↑
1 517.70 m
↓
↑
1 517.70 m
↓
S 51.604371°
W 23.708496°		 ← 1 517.49 m →
2 303 442 m²		 S 51.604371°
W 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434173583984375 y=0.667877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434173583984375 × 214)
    floor (0.434173583984375 × 16384)
    floor (7113.5)     		tx = 7113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667877197265625 × 214)
    floor (0.667877197265625 × 16384)
    floor (10942.5)     		ty = 10942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7113 / 10942 ti = "14/7113/10942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7113/10942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7113 ÷ 214
    7113 ÷ 16384     		x = 0.43414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10942 ÷ 214
    10942 ÷ 16384     		y = 0.6678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41379132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41379132} λ = -0.41379132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05461179164124))-π/2
    2×atan(0.348327624757629)-π/2
    2×0.335184176603993-π/2
    0.670368353207986-1.57079632675     		φ = -0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41379132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7113 KachelY 10942 -0.41379132 -0.90042797 -23.708496 -51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 7114 KachelY 10942 -0.41340782 -0.90042797 -23.686523 -51.590722
    Unten links KachelX 7113 KachelY + 1 10943 -0.41379132 -0.90066619 -23.708496 -51.604371
    Unten rechts KachelX + 1 7114 KachelY + 1 10943 -0.41340782 -0.90066619 -23.686523 -51.604371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90042797--0.90066619) × R
    0.000238220000000067 × 6371000     		dl = 1517.69962000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90042797--0.90066619) × R
    0.000238220000000067 × 6371000     		dr = 1517.69962000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41379132--0.41340782) × cos(-0.90042797) × R
    0.000383500000000037 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 1517.94704609477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41379132--0.41340782) × cos(-0.90066619) × R
    0.000383500000000037 × 0.621087985817259 × 6371000     		du = 1517.49092235576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90042797)-sin(-0.90066619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621087985817259)×R²
    abs(-0.41340782--0.41379132)×0.000186685119607288×R²
    0.000383500000000037×0.000186685119607288×6371000²
    0.000383500000000037×0.000186685119607288×40589641000000     		ar = 2303441.53651895m²