Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7101 / 10949
↖ ↑ ↗
← S 51.686179°
W 23.972168°		 ← 1 514.76 m → S 51.686179°
W 23.950195°		 →
↑
1 514.51 m
↓
↑
1 514.51 m
↓
S 51.699800°
W 23.972168°		 ← 1 514.30 m →
2 293 773 m²		 S 51.699800°
W 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433441162109375 y=0.668304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433441162109375 × 214)
    floor (0.433441162109375 × 16384)
    floor (7101.5)     		tx = 7101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668304443359375 × 214)
    floor (0.668304443359375 × 16384)
    floor (10949.5)     		ty = 10949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7101 / 10949 ti = "14/7101/10949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7101/10949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7101 ÷ 214
    7101 ÷ 16384     		x = 0.43341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10949 ÷ 214
    10949 ÷ 16384     		y = 0.66827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41839326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.3365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05729625801996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41839326} λ = -0.41839326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05729625801996))-π/2
    2×atan(0.347393804924945)-π/2
    2×0.334351157957185-π/2
    0.668702315914369-1.57079632675     		φ = -0.90209401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41839326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.972168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90209401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.686179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7101 KachelY 10949 -0.41839326 -0.90209401 -23.972168 -51.686179
    Oben rechts KachelX + 1 7102 KachelY 10949 -0.41800976 -0.90209401 -23.950195 -51.686179
    Unten links KachelX 7101 KachelY + 1 10950 -0.41839326 -0.90233173 -23.972168 -51.699800
    Unten rechts KachelX + 1 7102 KachelY + 1 10950 -0.41800976 -0.90233173 -23.950195 -51.699800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90209401--0.90233173) × R
    0.000237719999999997 × 6371000     		dl = 1514.51411999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90209401--0.90233173) × R
    0.000237719999999997 × 6371000     		dr = 1514.51411999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41839326--0.41800976) × cos(-0.90209401) × R
    0.000383499999999981 × 0.619968312245982 × 6371000     		do = 1514.75524799182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41839326--0.41800976) × cos(-0.90233173) × R
    0.000383499999999981 × 0.619781773235797 × 6371000     		du = 1514.29948123882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90209401)-sin(-0.90233173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619968312245982-0.619781773235797)×R²
    abs(-0.41800976--0.41839326)×0.00018653901018495×R²
    0.000383499999999981×0.00018653901018495×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018653901018495×40589641000000     		ar = 2293773.08963828m²