Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7088 / 11215
↖ ↑ ↗
← S 55.166319°
W 24.257813°		 ← 1 395.59 m → S 55.166319°
W 24.235840°		 →
↑
1 395.38 m
↓
↑
1 395.38 m
↓
S 55.178868°
W 24.257813°		 ← 1 395.15 m →
1 947 069 m²		 S 55.178868°
W 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432647705078125 y=0.684539794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432647705078125 × 214)
    floor (0.432647705078125 × 16384)
    floor (7088.5)     		tx = 7088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684539794921875 × 214)
    floor (0.684539794921875 × 16384)
    floor (11215.5)     		ty = 11215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7088 / 11215 ti = "14/7088/11215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7088/11215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7088 ÷ 214
    7088 ÷ 16384     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11215 ÷ 214
    11215 ÷ 16384     		y = 0.68450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15930598041144))-π/2
    2×atan(0.313703821947727)-π/2
    2×0.303981212541842-π/2
    0.607962425083684-1.57079632675     		φ = -0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7088 KachelY 11215 -0.42337870 -0.96283390 -24.257813 -55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 7089 KachelY 11215 -0.42299520 -0.96283390 -24.235840 -55.166319
    Unten links KachelX 7088 KachelY + 1 11216 -0.42337870 -0.96305292 -24.257813 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 7089 KachelY + 1 11216 -0.42299520 -0.96305292 -24.235840 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96283390--0.96305292) × R
    0.000219019999999959 × 6371000     		dl = 1395.37641999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96283390--0.96305292) × R
    0.000219019999999959 × 6371000     		dr = 1395.37641999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42299520) × cos(-0.96283390) × R
    0.000383499999999981 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 1395.59134399354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42299520) × cos(-0.96305292) × R
    0.000383499999999981 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 1395.15207113536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96283390)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.42299520--0.42337870)×0.000179788287821614×R²
    0.000383499999999981×0.000179788287821614×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179788287821614×40589641000000     		ar = 1947068.78565448m²