Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7070 / 11364
↖ ↑ ↗
← S 56.992883°
W 24.653320°		 ← 1 330.92 m → S 56.992883°
W 24.631348°		 →
↑
1 330.71 m
↓
↑
1 330.71 m
↓
S 57.004850°
W 24.653320°		 ← 1 330.50 m →
1 770 791 m²		 S 57.004850°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431549072265625 y=0.693634033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431549072265625 × 214)
    floor (0.431549072265625 × 16384)
    floor (7070.5)     		tx = 7070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693634033203125 × 214)
    floor (0.693634033203125 × 16384)
    floor (11364.5)     		ty = 11364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7070 / 11364 ti = "14/7070/11364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7070/11364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7070 ÷ 214
    7070 ÷ 16384     		x = 0.4315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11364 ÷ 214
    11364 ÷ 16384     		y = 0.693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.38720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21644676475854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43028161} λ = -0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21644676475854))-π/2
    2×atan(0.296281055078218)-π/2
    2×0.288041435834857-π/2
    0.576082871669714-1.57079632675     		φ = -0.99471346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99471346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.992883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7070 KachelY 11364 -0.43028161 -0.99471346 -24.653320 -56.992883
    Oben rechts KachelX + 1 7071 KachelY 11364 -0.42989812 -0.99471346 -24.631348 -56.992883
    Unten links KachelX 7070 KachelY + 1 11365 -0.43028161 -0.99492233 -24.653320 -57.004850
    Unten rechts KachelX + 1 7071 KachelY + 1 11365 -0.42989812 -0.99492233 -24.631348 -57.004850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99471346--0.99492233) × R
    0.000208869999999917 × 6371000     		dl = 1330.71076999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99471346--0.99492233) × R
    0.000208869999999917 × 6371000     		dr = 1330.71076999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(-0.99471346) × R
    0.000383489999999986 × 0.544743205134429 × 6371000     		do = 1330.92465553639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(-0.99492233) × R
    0.000383489999999986 × 0.544568034263248 × 6371000     		du = 1330.49667547315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99471346)-sin(-0.99492233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544743205134429-0.544568034263248)×R²
    abs(-0.42989812--0.43028161)×0.000175170871180907×R²
    0.000383489999999986×0.000175170871180907×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175170871180907×40589641000000     		ar = 1770791.02077837m²