Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70684 / 44004
↖ ↑ ↗
← N 50.785102°
E 14.139404°		 ← 193.10 m → N 50.785102°
E 14.142151°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 50.783365°
E 14.139404°		 ← 193.11 m →
37 289 m²		 N 50.783365°
E 14.142151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539279937744141 y=0.335727691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539279937744141 × 217)
    floor (0.539279937744141 × 131072)
    floor (70684.5)     		tx = 70684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335727691650391 × 217)
    floor (0.335727691650391 × 131072)
    floor (44004.5)     		ty = 44004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70684 / 44004 ti = "17/70684/44004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70684/44004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70684 ÷ 217
    70684 ÷ 131072     		x = 0.539276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44004 ÷ 217
    44004 ÷ 131072     		y = 0.335723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539276123046875 × 2 - 1) × π
    0.07855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24677916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335723876953125 × 2 - 1) × π
    0.32855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03217732261905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24677916} λ = 0.24677916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03217732261905))-π/2
    2×atan(2.80717130307358)-π/2
    2×1.22858178107401-π/2
    2.45716356214802-1.57079632675     		φ = 0.88636724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24677916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.139404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88636724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.785102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70684 KachelY 44004 0.24677916 0.88636724 14.139404 50.785102
    Oben rechts KachelX + 1 70685 KachelY 44004 0.24682710 0.88636724 14.142151 50.785102
    Unten links KachelX 70684 KachelY + 1 44005 0.24677916 0.88633693 14.139404 50.783365
    Unten rechts KachelX + 1 70685 KachelY + 1 44005 0.24682710 0.88633693 14.142151 50.783365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88636724-0.88633693) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88636724-0.88633693) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24677916-0.24682710) × cos(0.88636724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632230782372821 × 6371000     		do = 193.099554556983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24677916-0.24682710) × cos(0.88633693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632254265667908 × 6371000     		du = 193.106726959763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88636724)-sin(0.88633693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632230782372821-0.632254265667908)×R²
    abs(0.24682710-0.24677916)×2.34832950875008e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34832950875008e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34832950875008e-05×40589641000000     		ar = 37289.1839298953m²