Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70682 / 62454
↖ ↑ ↗
← N  8.434338°
E 14.133911°		 ← 302.06 m → N  8.434338°
E 14.136658°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
N  8.431621°
E 14.133911°		 ← 302.06 m →
91 256 m²		 N  8.431621°
E 14.136658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539264678955078 y=0.476490020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539264678955078 × 217)
    floor (0.539264678955078 × 131072)
    floor (70682.5)     		tx = 70682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476490020751953 × 217)
    floor (0.476490020751953 × 131072)
    floor (62454.5)     		ty = 62454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70682 / 62454 ti = "17/70682/62454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70682/62454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70682 ÷ 217
    70682 ÷ 131072     		x = 0.539260864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62454 ÷ 217
    62454 ÷ 131072     		y = 0.476486206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539260864257812 × 2 - 1) × π
    0.078521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24668329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476486206054688 × 2 - 1) × π
    0.047027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.147741524629013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24668329} λ = 0.24668329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147741524629013))-π/2
    2×atan(1.15921322956683)-π/2
    2×0.859001646549634-π/2
    1.71800329309927-1.57079632675     		φ = 0.14720697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24668329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.133911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14720697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.434338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70682 KachelY 62454 0.24668329 0.14720697 14.133911 8.434338
    Oben rechts KachelX + 1 70683 KachelY 62454 0.24673122 0.14720697 14.136658 8.434338
    Unten links KachelX 70682 KachelY + 1 62455 0.24668329 0.14715955 14.133911 8.431621
    Unten rechts KachelX + 1 70683 KachelY + 1 62455 0.24673122 0.14715955 14.136658 8.431621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14720697-0.14715955) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14720697-0.14715955) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24668329-0.24673122) × cos(0.14720697) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989184605873234 × 6371000     		do = 302.059419294211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24668329-0.24673122) × cos(0.14715955) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989191560131573 × 6371000     		du = 302.061542860654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14720697)-sin(0.14715955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989184605873234-0.989191560131573)×R²
    abs(0.24673122-0.24668329)×6.95425833840968e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.95425833840968e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.95425833840968e-06×40589641000000     		ar = 91256.3437659273m²