Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70659 / 62429
↖ ↑ ↗
← N  8.502254°
E 14.070740°		 ← 302.01 m → N  8.502254°
E 14.073486°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
N  8.499537°
E 14.070740°		 ← 302.01 m →
91 221 m²		 N  8.499537°
E 14.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539089202880859 y=0.476299285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539089202880859 × 217)
    floor (0.539089202880859 × 131072)
    floor (70659.5)     		tx = 70659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476299285888672 × 217)
    floor (0.476299285888672 × 131072)
    floor (62429.5)     		ty = 62429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70659 / 62429 ti = "17/70659/62429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70659/62429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70659 ÷ 217
    70659 ÷ 131072     		x = 0.539085388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62429 ÷ 217
    62429 ÷ 131072     		y = 0.476295471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539085388183594 × 2 - 1) × π
    0.0781707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24558074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476295471191406 × 2 - 1) × π
    0.0474090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.148939947119514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24558074} λ = 0.24558074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148939947119514))-π/2
    2×atan(1.16060328954564)-π/2
    2×0.859594324858689-π/2
    1.71918864971738-1.57079632675     		φ = 0.14839232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24558074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.070740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14839232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.502254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70659 KachelY 62429 0.24558074 0.14839232 14.070740 8.502254
    Oben rechts KachelX + 1 70660 KachelY 62429 0.24562867 0.14839232 14.073486 8.502254
    Unten links KachelX 70659 KachelY + 1 62430 0.24558074 0.14834491 14.070740 8.499537
    Unten rechts KachelX + 1 70660 KachelY + 1 62430 0.24562867 0.14834491 14.073486 8.499537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14839232-0.14834491) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14839232-0.14834491) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24558074-0.24562867) × cos(0.14839232) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989010048723481 × 6371000     		do = 302.006116168611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24558074-0.24562867) × cos(0.14834491) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989017057100474 × 6371000     		du = 302.008256260837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14839232)-sin(0.14834491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989010048723481-0.989017057100474)×R²
    abs(0.24562867-0.24558074)×7.00837699252332e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.00837699252332e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.00837699252332e-06×40589641000000     		ar = 91221.001826819m²