Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70654 / 62445
↖ ↑ ↗
← N  8.458789°
E 14.057007°		 ← 302.10 m → N  8.458789°
E 14.059753°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
N  8.456072°
E 14.057007°		 ← 302.11 m →
91 270 m²		 N  8.456072°
E 14.059753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539051055908203 y=0.476421356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539051055908203 × 217)
    floor (0.539051055908203 × 131072)
    floor (70654.5)     		tx = 70654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476421356201172 × 217)
    floor (0.476421356201172 × 131072)
    floor (62445.5)     		ty = 62445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70654 / 62445 ti = "17/70654/62445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70654/62445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70654 ÷ 217
    70654 ÷ 131072     		x = 0.539047241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62445 ÷ 217
    62445 ÷ 131072     		y = 0.476417541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539047241210938 × 2 - 1) × π
    0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476417541503906 × 2 - 1) × π
    0.0471649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.148172956725594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24534105} λ = 0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148172956725594))-π/2
    2×atan(1.15971345926066)-π/2
    2×0.859215022786114-π/2
    1.71843004557223-1.57079632675     		φ = 0.14763372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14763372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.458789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70654 KachelY 62445 0.24534105 0.14763372 14.057007 8.458789
    Oben rechts KachelX + 1 70655 KachelY 62445 0.24538899 0.14763372 14.059753 8.458789
    Unten links KachelX 70654 KachelY + 1 62446 0.24534105 0.14758630 14.057007 8.456072
    Unten rechts KachelX + 1 70655 KachelY + 1 62446 0.24538899 0.14758630 14.059753 8.456072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14763372-0.14758630) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14763372-0.14758630) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24534105-0.24538899) × cos(0.14763372) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989121921867874 × 6371000     		do = 302.103294936694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24534105-0.24538899) × cos(0.14758630) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989128896143268 × 6371000     		du = 302.105425059918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14763372)-sin(0.14758630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989121921867874-0.989128896143268)×R²
    abs(0.24538899-0.24534105)×6.97427539442241e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.97427539442241e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.97427539442241e-06×40589641000000     		ar = 91269.6001504675m²