Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70598 / 43970
↖ ↑ ↗
← N 50.844105°
E 13.903198°		 ← 192.82 m → N 50.844105°
E 13.905945°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.842370°
E 13.903198°		 ← 192.82 m →
37 185 m²		 N 50.842370°
E 13.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538623809814453 y=0.335468292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538623809814453 × 217)
    floor (0.538623809814453 × 131072)
    floor (70598.5)     		tx = 70598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335468292236328 × 217)
    floor (0.335468292236328 × 131072)
    floor (43970.5)     		ty = 43970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70598 / 43970 ti = "17/70598/43970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70598/43970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70598 ÷ 217
    70598 ÷ 131072     		x = 0.538619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43970 ÷ 217
    43970 ÷ 131072     		y = 0.335464477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538619995117188 × 2 - 1) × π
    0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335464477539062 × 2 - 1) × π
    0.329071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03380717720613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24265659} λ = 0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03380717720613))-π/2
    2×atan(2.81175031464647)-π/2
    2×1.22909667793735-π/2
    2.4581933558747-1.57079632675     		φ = 0.88739703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88739703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.844105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70598 KachelY 43970 0.24265659 0.88739703 13.903198 50.844105
    Oben rechts KachelX + 1 70599 KachelY 43970 0.24270452 0.88739703 13.905945 50.844105
    Unten links KachelX 70598 KachelY + 1 43971 0.24265659 0.88736676 13.903198 50.842370
    Unten rechts KachelX + 1 70599 KachelY + 1 43971 0.24270452 0.88736676 13.905945 50.842370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88739703-0.88736676) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88739703-0.88736676) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(0.88739703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631432586461704 × 6371000     		do = 192.815536410103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(0.88736676) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631456058462015 × 6371000     		du = 192.822703867766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88739703)-sin(0.88736676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631432586461704-0.631456058462015)×R²
    abs(0.24270452-0.24265659)×2.34720003111644e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34720003111644e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34720003111644e-05×40589641000000     		ar = 37185.200100862m²