Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70598 / 43966
↖ ↑ ↗
← N 50.851041°
E 13.903198°		 ← 192.79 m → N 50.851041°
E 13.905945°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.849307°
E 13.903198°		 ← 192.79 m →
37 180 m²		 N 50.849307°
E 13.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538623809814453 y=0.335437774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538623809814453 × 217)
    floor (0.538623809814453 × 131072)
    floor (70598.5)     		tx = 70598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335437774658203 × 217)
    floor (0.335437774658203 × 131072)
    floor (43966.5)     		ty = 43966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70598 / 43966 ti = "17/70598/43966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70598/43966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70598 ÷ 217
    70598 ÷ 131072     		x = 0.538619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43966 ÷ 217
    43966 ÷ 131072     		y = 0.335433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538619995117188 × 2 - 1) × π
    0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335433959960938 × 2 - 1) × π
    0.329132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03399892480461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24265659} λ = 0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03399892480461))-π/2
    2×atan(2.81228951271015)-π/2
    2×1.22915721127793-π/2
    2.45831442255585-1.57079632675     		φ = 0.88751810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88751810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.851041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70598 KachelY 43966 0.24265659 0.88751810 13.903198 50.851041
    Oben rechts KachelX + 1 70599 KachelY 43966 0.24270452 0.88751810 13.905945 50.851041
    Unten links KachelX 70598 KachelY + 1 43967 0.24265659 0.88748783 13.903198 50.849307
    Unten rechts KachelX + 1 70599 KachelY + 1 43967 0.24270452 0.88748783 13.905945 50.849307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88751810-0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88751810-0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(0.88751810) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		do = 192.786867180904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(0.88748783) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63136217474435 × 6371000     		du = 192.794035345156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88751810)-sin(0.88748783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631338700430101-0.63136217474435)×R²
    abs(0.24270452-0.24265659)×2.34743142493166e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34743142493166e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34743142493166e-05×40589641000000     		ar = 37179.6713032536m²