Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70591 / 43971
↖ ↑ ↗
← N 50.842370°
E 13.883972°		 ← 192.82 m → N 50.842370°
E 13.886718°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.840636°
E 13.883972°		 ← 192.83 m →
37 187 m²		 N 50.840636°
E 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538570404052734 y=0.335475921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538570404052734 × 217)
    floor (0.538570404052734 × 131072)
    floor (70591.5)     		tx = 70591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335475921630859 × 217)
    floor (0.335475921630859 × 131072)
    floor (43971.5)     		ty = 43971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70591 / 43971 ti = "17/70591/43971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70591/43971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70591 ÷ 217
    70591 ÷ 131072     		x = 0.538566589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43971 ÷ 217
    43971 ÷ 131072     		y = 0.335472106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538566589355469 × 2 - 1) × π
    0.0771331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24232103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335472106933594 × 2 - 1) × π
    0.329055786132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03375924030651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24232103} λ = 0.24232103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03375924030651))-π/2
    2×atan(2.81161553128446)-π/2
    2×1.22908154319579-π/2
    2.45816308639157-1.57079632675     		φ = 0.88736676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24232103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88736676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.842370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70591 KachelY 43971 0.24232103 0.88736676 13.883972 50.842370
    Oben rechts KachelX + 1 70592 KachelY 43971 0.24236896 0.88736676 13.886718 50.842370
    Unten links KachelX 70591 KachelY + 1 43972 0.24232103 0.88733649 13.883972 50.840636
    Unten rechts KachelX + 1 70592 KachelY + 1 43972 0.24236896 0.88733649 13.886718 50.840636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88736676-0.88733649) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88736676-0.88733649) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24232103-0.24236896) × cos(0.88736676) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631456058462015 × 6371000     		do = 192.822703867766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24232103-0.24236896) × cos(0.88733649) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63147952988374 × 6371000     		du = 192.829871148751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88736676)-sin(0.88733649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631456058462015-0.63147952988374)×R²
    abs(0.24236896-0.24232103)×2.34714217250964e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34714217250964e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34714217250964e-05×40589641000000     		ar = 37186.5823292067m²