Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70585 / 43961
↖ ↑ ↗
← N 50.859710°
E 13.867493°		 ← 192.75 m → N 50.859710°
E 13.870239°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
N 50.857976°
E 13.867493°		 ← 192.76 m →
37 160 m²		 N 50.857976°
E 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538524627685547 y=0.335399627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538524627685547 × 217)
    floor (0.538524627685547 × 131072)
    floor (70585.5)     		tx = 70585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335399627685547 × 217)
    floor (0.335399627685547 × 131072)
    floor (43961.5)     		ty = 43961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70585 / 43961 ti = "17/70585/43961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70585/43961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70585 ÷ 217
    70585 ÷ 131072     		x = 0.538520812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43961 ÷ 217
    43961 ÷ 131072     		y = 0.335395812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538520812988281 × 2 - 1) × π
    0.0770416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24203341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335395812988281 × 2 - 1) × π
    0.329208374023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03423860930271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24203341} λ = 0.24203341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03423860930271))-π/2
    2×atan(2.8129636556981)-π/2
    2×1.22923286529641-π/2
    2.45846573059283-1.57079632675     		φ = 0.88766940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24203341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.867493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88766940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.859710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70585 KachelY 43961 0.24203341 0.88766940 13.867493 50.859710
    Oben rechts KachelX + 1 70586 KachelY 43961 0.24208134 0.88766940 13.870239 50.859710
    Unten links KachelX 70585 KachelY + 1 43962 0.24203341 0.88763914 13.867493 50.857976
    Unten rechts KachelX + 1 70586 KachelY + 1 43962 0.24208134 0.88763914 13.870239 50.857976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88766940-0.88763914) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dl = 192.78646000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88766940-0.88763914) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dr = 192.78646000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24203341-0.24208134) × cos(0.88766940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631221358962244 × 6371000     		do = 192.751035552076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24203341-0.24208134) × cos(0.88763914) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631244828411879 × 6371000     		du = 192.758202230859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88766940)-sin(0.88763914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631221358962244-0.631244828411879)×R²
    abs(0.24208134-0.24203341)×2.34694496353827e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34694496353827e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34694496353827e-05×40589641000000     		ar = 37160.4806275333m²