Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70562 / 44002
↖ ↑ ↗
← N 50.788575°
E 13.804321°		 ← 193.04 m → N 50.788575°
E 13.807068°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 50.786838°
E 13.804321°		 ← 193.05 m →
37 279 m²		 N 50.786838°
E 13.807068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538349151611328 y=0.335712432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538349151611328 × 217)
    floor (0.538349151611328 × 131072)
    floor (70562.5)     		tx = 70562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335712432861328 × 217)
    floor (0.335712432861328 × 131072)
    floor (44002.5)     		ty = 44002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70562 / 44002 ti = "17/70562/44002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70562/44002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70562 ÷ 217
    70562 ÷ 131072     		x = 0.538345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44002 ÷ 217
    44002 ÷ 131072     		y = 0.335708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538345336914062 × 2 - 1) × π
    0.076690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24093086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335708618164062 × 2 - 1) × π
    0.328582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03227319641829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24093086} λ = 0.24093086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03227319641829))-π/2
    2×atan(2.80744045015339)-π/2
    2×1.22861208713212-π/2
    2.45722417426424-1.57079632675     		φ = 0.88642785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24093086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88642785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.788575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70562 KachelY 44002 0.24093086 0.88642785 13.804321 50.788575
    Oben rechts KachelX + 1 70563 KachelY 44002 0.24097879 0.88642785 13.807068 50.788575
    Unten links KachelX 70562 KachelY + 1 44003 0.24093086 0.88639754 13.804321 50.786838
    Unten rechts KachelX + 1 70563 KachelY + 1 44003 0.24097879 0.88639754 13.807068 50.786838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88642785-0.88639754) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88642785-0.88639754) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24093086-0.24097879) × cos(0.88642785) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632183821788368 × 6371000     		do = 193.044935154461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24093086-0.24097879) × cos(0.88639754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632207306244898 × 6371000     		du = 193.05210641578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88642785)-sin(0.88639754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632183821788368-0.632207306244898)×R²
    abs(0.24097879-0.24093086)×2.34844565302206e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34844565302206e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34844565302206e-05×40589641000000     		ar = 37278.6365395287m²