Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70561 / 44001
↖ ↑ ↗
← N 50.790311°
E 13.801575°		 ← 193.08 m → N 50.790311°
E 13.804321°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 50.788575°
E 13.801575°		 ← 193.09 m →
37 273 m²		 N 50.788575°
E 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538341522216797 y=0.335704803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538341522216797 × 217)
    floor (0.538341522216797 × 131072)
    floor (70561.5)     		tx = 70561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335704803466797 × 217)
    floor (0.335704803466797 × 131072)
    floor (44001.5)     		ty = 44001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70561 / 44001 ti = "17/70561/44001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70561/44001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70561 ÷ 217
    70561 ÷ 131072     		x = 0.538337707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44001 ÷ 217
    44001 ÷ 131072     		y = 0.335700988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538337707519531 × 2 - 1) × π
    0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335700988769531 × 2 - 1) × π
    0.328598022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03232113331791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24088292} λ = 0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03232113331791))-π/2
    2×atan(2.80757503337017)-π/2
    2×1.22862723931697-π/2
    2.45725447863394-1.57079632675     		φ = 0.88645815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88645815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.790311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70561 KachelY 44001 0.24088292 0.88645815 13.801575 50.790311
    Oben rechts KachelX + 1 70562 KachelY 44001 0.24093086 0.88645815 13.804321 50.790311
    Unten links KachelX 70561 KachelY + 1 44002 0.24088292 0.88642785 13.801575 50.788575
    Unten rechts KachelX + 1 70562 KachelY + 1 44002 0.24093086 0.88642785 13.804321 50.788575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88645815-0.88642785) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88645815-0.88642785) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(0.88645815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632160344499429 × 6371000     		do = 193.078041017378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(0.88642785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.632183821788368 × 6371000     		du = 193.085211585726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88645815)-sin(0.88642785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632160344499429-0.632183821788368)×R²
    abs(0.24093086-0.24088292)×2.34772889390333e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34772889390333e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34772889390333e-05×40589641000000     		ar = 37272.7281502386m²