Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70489 / 43849
↖ ↑ ↗
← N 51.053481°
E 13.603821°		 ← 191.99 m → N 51.053481°
E 13.606567°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 51.051754°
E 13.603821°		 ← 192 m →
36 867 m²		 N 51.051754°
E 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537792205810547 y=0.334545135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537792205810547 × 217)
    floor (0.537792205810547 × 131072)
    floor (70489.5)     		tx = 70489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334545135498047 × 217)
    floor (0.334545135498047 × 131072)
    floor (43849.5)     		ty = 43849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70489 / 43849 ti = "17/70489/43849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70489/43849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70489 ÷ 217
    70489 ÷ 131072     		x = 0.537788391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43849 ÷ 217
    43849 ÷ 131072     		y = 0.334541320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537788391113281 × 2 - 1) × π
    0.0755767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23743146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334541320800781 × 2 - 1) × π
    0.330917358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03960754206016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23743146} λ = 0.23743146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03960754206016))-π/2
    2×atan(2.82810688352482)-π/2
    2×1.23092383140142-π/2
    2.46184766280283-1.57079632675     		φ = 0.89105134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23743146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.603821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89105134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.053481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70489 KachelY 43849 0.23743146 0.89105134 13.603821 51.053481
    Oben rechts KachelX + 1 70490 KachelY 43849 0.23747940 0.89105134 13.606567 51.053481
    Unten links KachelX 70489 KachelY + 1 43850 0.23743146 0.89102120 13.603821 51.051754
    Unten rechts KachelX + 1 70490 KachelY + 1 43850 0.23747940 0.89102120 13.606567 51.051754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89105134-0.89102120) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89105134-0.89102120) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(0.89105134) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628594712263658 × 6371000     		do = 191.9890051532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(0.89102120) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628618152852086 × 6371000     		du = 191.996164512267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89105134)-sin(0.89102120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628594712263658-0.628618152852086)×R²
    abs(0.23747940-0.23743146)×2.34405884285138e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34405884285138e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34405884285138e-05×40589641000000     		ar = 36866.7886081038m²