Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70462 / 43714
↖ ↑ ↗
← N 51.285970°
E 13.529663°		 ← 190.98 m → N 51.285970°
E 13.532409°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.284252°
E 13.529663°		 ← 190.99 m →
36 479 m²		 N 51.284252°
E 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537586212158203 y=0.333515167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537586212158203 × 217)
    floor (0.537586212158203 × 131072)
    floor (70462.5)     		tx = 70462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333515167236328 × 217)
    floor (0.333515167236328 × 131072)
    floor (43714.5)     		ty = 43714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70462 / 43714 ti = "17/70462/43714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70462/43714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70462 ÷ 217
    70462 ÷ 131072     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43714 ÷ 217
    43714 ÷ 131072     		y = 0.333511352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333511352539062 × 2 - 1) × π
    0.332977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04607902350887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04607902350887))-π/2
    2×atan(2.84646827337208)-π/2
    2×1.23295268535242-π/2
    2.46590537070484-1.57079632675     		φ = 0.89510904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89510904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.285970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70462 KachelY 43714 0.23613717 0.89510904 13.529663 51.285970
    Oben rechts KachelX + 1 70463 KachelY 43714 0.23618510 0.89510904 13.532409 51.285970
    Unten links KachelX 70462 KachelY + 1 43715 0.23613717 0.89507906 13.529663 51.284252
    Unten rechts KachelX + 1 70463 KachelY + 1 43715 0.23618510 0.89507906 13.532409 51.284252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89510904-0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89510904-0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(0.89510904) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625433738674432 × 6371000     		do = 190.98371607212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(0.89507906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625457131106305 × 6371000     		du = 190.990859232604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89510904)-sin(0.89507906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625433738674432-0.625457131106305)×R²
    abs(0.23618510-0.23613717)×2.3392431873881e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3392431873881e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3392431873881e-05×40589641000000     		ar = 36479.0646916824m²