Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70356 / 43852
↖ ↑ ↗
← N 51.048301°
E 13.238526°		 ← 191.97 m → N 51.048301°
E 13.241272°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.046575°
E 13.238526°		 ← 191.98 m →
36 851 m²		 N 51.046575°
E 13.241272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536777496337891 y=0.334568023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536777496337891 × 217)
    floor (0.536777496337891 × 131072)
    floor (70356.5)     		tx = 70356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334568023681641 × 217)
    floor (0.334568023681641 × 131072)
    floor (43852.5)     		ty = 43852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70356 / 43852 ti = "17/70356/43852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70356/43852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70356 ÷ 217
    70356 ÷ 131072     		x = 0.536773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43852 ÷ 217
    43852 ÷ 131072     		y = 0.334564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536773681640625 × 2 - 1) × π
    0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334564208984375 × 2 - 1) × π
    0.33087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0394637313613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23105586} λ = 0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0394637313613))-π/2
    2×atan(2.82770020074082)-π/2
    2×1.23087862955104-π/2
    2.46175725910207-1.57079632675     		φ = 0.89096093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89096093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.048301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70356 KachelY 43852 0.23105586 0.89096093 13.238526 51.048301
    Oben rechts KachelX + 1 70357 KachelY 43852 0.23110379 0.89096093 13.241272 51.048301
    Unten links KachelX 70356 KachelY + 1 43853 0.23105586 0.89093080 13.238526 51.046575
    Unten rechts KachelX + 1 70357 KachelY + 1 43853 0.23110379 0.89093080 13.241272 51.046575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89096093-0.89093080) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89096093-0.89093080) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23105586-0.23110379) × cos(0.89096093) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		do = 191.970428083239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23105586-0.23110379) × cos(0.89093080) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628688455637847 × 6371000     		du = 191.977583051144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89096093)-sin(0.89093080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628665024539012-0.628688455637847)×R²
    abs(0.23110379-0.23105586)×2.34310988341813e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34310988341813e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34310988341813e-05×40589641000000     		ar = 36850.9903174208m²