Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70339 / 43843
↖ ↑ ↗
← N 51.063838°
E 13.191834°		 ← 191.95 m → N 51.063838°
E 13.194580°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.062113°
E 13.191834°		 ← 191.95 m →
36 834 m²		 N 51.062113°
E 13.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536647796630859 y=0.334499359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536647796630859 × 217)
    floor (0.536647796630859 × 131072)
    floor (70339.5)     		tx = 70339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334499359130859 × 217)
    floor (0.334499359130859 × 131072)
    floor (43843.5)     		ty = 43843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70339 / 43843 ti = "17/70339/43843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70339/43843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70339 ÷ 217
    70339 ÷ 131072     		x = 0.536643981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43843 ÷ 217
    43843 ÷ 131072     		y = 0.334495544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536643981933594 × 2 - 1) × π
    0.0732879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23024093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334495544433594 × 2 - 1) × π
    0.331008911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03989516345788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23024093} λ = 0.23024093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03989516345788))-π/2
    2×atan(2.82892042456986)-π/2
    2×1.23101421993624-π/2
    2.46202843987247-1.57079632675     		φ = 0.89123211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23024093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.191834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89123211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.063838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70339 KachelY 43843 0.23024093 0.89123211 13.191834 51.063838
    Oben rechts KachelX + 1 70340 KachelY 43843 0.23028887 0.89123211 13.194580 51.063838
    Unten links KachelX 70339 KachelY + 1 43844 0.23024093 0.89120199 13.191834 51.062113
    Unten rechts KachelX + 1 70340 KachelY + 1 43844 0.23028887 0.89120199 13.194580 51.062113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89123211-0.89120199) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89123211-0.89120199) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23024093-0.23028887) × cos(0.89123211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628454111191517 × 6371000     		do = 191.946061966697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23024093-0.23028887) × cos(0.89120199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628477539647912 × 6371000     		du = 191.953217620328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89123211)-sin(0.89120199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628454111191517-0.628477539647912)×R²
    abs(0.23028887-0.23024093)×2.34284563951359e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34284563951359e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34284563951359e-05×40589641000000     		ar = 36834.0839951053m²