Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70211 / 43843
↖ ↑ ↗
← N 51.063838°
E 12.840271°		 ← 191.91 m → N 51.063838°
E 12.843017°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.062113°
E 12.840271°		 ← 191.91 m →
36 826 m²		 N 51.062113°
E 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535671234130859 y=0.334499359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535671234130859 × 217)
    floor (0.535671234130859 × 131072)
    floor (70211.5)     		tx = 70211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334499359130859 × 217)
    floor (0.334499359130859 × 131072)
    floor (43843.5)     		ty = 43843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70211 / 43843 ti = "17/70211/43843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70211/43843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70211 ÷ 217
    70211 ÷ 131072     		x = 0.535667419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43843 ÷ 217
    43843 ÷ 131072     		y = 0.334495544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535667419433594 × 2 - 1) × π
    0.0713348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22410501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334495544433594 × 2 - 1) × π
    0.331008911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03989516345788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22410501} λ = 0.22410501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03989516345788))-π/2
    2×atan(2.82892042456986)-π/2
    2×1.23101421993624-π/2
    2.46202843987247-1.57079632675     		φ = 0.89123211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22410501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.840271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89123211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.063838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70211 KachelY 43843 0.22410501 0.89123211 12.840271 51.063838
    Oben rechts KachelX + 1 70212 KachelY 43843 0.22415294 0.89123211 12.843017 51.063838
    Unten links KachelX 70211 KachelY + 1 43844 0.22410501 0.89120199 12.840271 51.062113
    Unten rechts KachelX + 1 70212 KachelY + 1 43844 0.22415294 0.89120199 12.843017 51.062113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89123211-0.89120199) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89123211-0.89120199) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22410501-0.22415294) × cos(0.89123211) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628454111191517 × 6371000     		do = 191.906023155294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22410501-0.22415294) × cos(0.89120199) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628477539647912 × 6371000     		du = 191.913177316298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89123211)-sin(0.89120199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628454111191517-0.628477539647912)×R²
    abs(0.22415294-0.22410501)×2.34284563951359e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34284563951359e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34284563951359e-05×40589641000000     		ar = 36826.4006233957m²