Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70180 / 42917
↖ ↑ ↗
← N 52.634730°
E 12.755127°		 ← 185.36 m → N 52.634730°
E 12.757874°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
N 52.633063°
E 12.755127°		 ← 185.37 m →
34 366 m²		 N 52.633063°
E 12.757874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535434722900391 y=0.327434539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535434722900391 × 217)
    floor (0.535434722900391 × 131072)
    floor (70180.5)     		tx = 70180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327434539794922 × 217)
    floor (0.327434539794922 × 131072)
    floor (42917.5)     		ty = 42917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70180 / 42917 ti = "17/70180/42917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70180/42917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70180 ÷ 217
    70180 ÷ 131072     		x = 0.535430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42917 ÷ 217
    42917 ÷ 131072     		y = 0.327430725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535430908203125 × 2 - 1) × π
    0.07086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22261896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327430725097656 × 2 - 1) × π
    0.345138549804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08428473250605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22261896} λ = 0.22261896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08428473250605))-π/2
    2×atan(2.95732378449232)-π/2
    2×1.24472283140324-π/2
    2.48944566280648-1.57079632675     		φ = 0.91864934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22261896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91864934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.634730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70180 KachelY 42917 0.22261896 0.91864934 12.755127 52.634730
    Oben rechts KachelX + 1 70181 KachelY 42917 0.22266690 0.91864934 12.757874 52.634730
    Unten links KachelX 70180 KachelY + 1 42918 0.22261896 0.91862024 12.755127 52.633063
    Unten rechts KachelX + 1 70181 KachelY + 1 42918 0.22266690 0.91862024 12.757874 52.633063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91864934-0.91862024) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91864934-0.91862024) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22261896-0.22266690) × cos(0.91864934) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606894191007405 × 6371000     		do = 185.361107390124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22261896-0.22266690) × cos(0.91862024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		du = 185.368171251528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91864934)-sin(0.91862024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606894191007405-0.606917318925192)×R²
    abs(0.22266690-0.22261896)×2.31279177869137e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31279177869137e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31279177869137e-05×40589641000000     		ar = 34365.8812104795m²