Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70132 / 42819
↖ ↑ ↗
← N 52.797780°
E 12.623291°		 ← 184.67 m → N 52.797780°
E 12.626038°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.796119°
E 12.623291°		 ← 184.68 m →
34 096 m²		 N 52.796119°
E 12.626038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535068511962891 y=0.326686859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535068511962891 × 217)
    floor (0.535068511962891 × 131072)
    floor (70132.5)     		tx = 70132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326686859130859 × 217)
    floor (0.326686859130859 × 131072)
    floor (42819.5)     		ty = 42819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70132 / 42819 ti = "17/70132/42819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70132/42819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70132 ÷ 217
    70132 ÷ 131072     		x = 0.535064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42819 ÷ 217
    42819 ÷ 131072     		y = 0.326683044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535064697265625 × 2 - 1) × π
    0.07012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22031799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326683044433594 × 2 - 1) × π
    0.346633911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08898254866882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22031799} λ = 0.22031799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08898254866882))-π/2
    2×atan(2.97124943242163)-π/2
    2×1.24614571016999-π/2
    2.49229142033997-1.57079632675     		φ = 0.92149509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22031799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92149509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.797780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70132 KachelY 42819 0.22031799 0.92149509 12.623291 52.797780
    Oben rechts KachelX + 1 70133 KachelY 42819 0.22036593 0.92149509 12.626038 52.797780
    Unten links KachelX 70132 KachelY + 1 42820 0.22031799 0.92146611 12.623291 52.796119
    Unten rechts KachelX + 1 70133 KachelY + 1 42820 0.22036593 0.92146611 12.626038 52.796119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92149509-0.92146611) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92149509-0.92146611) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22031799-0.22036593) × cos(0.92149509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.604629983967521 × 6371000     		do = 184.669560279454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22031799-0.22036593) × cos(0.92146611) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60465306647159 × 6371000     		du = 184.67661027034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92149509)-sin(0.92146611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604629983967521-0.60465306647159)×R²
    abs(0.22036593-0.22031799)×2.30825040691274e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30825040691274e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30825040691274e-05×40589641000000     		ar = 34096.4835201465m²