Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70117 / 42843
↖ ↑ ↗
← N 52.757906°
E 12.582092°		 ← 184.80 m → N 52.757906°
E 12.584839°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
N 52.756243°
E 12.582092°		 ← 184.81 m →
34 156 m²		 N 52.756243°
E 12.584839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534954071044922 y=0.326869964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534954071044922 × 217)
    floor (0.534954071044922 × 131072)
    floor (70117.5)     		tx = 70117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326869964599609 × 217)
    floor (0.326869964599609 × 131072)
    floor (42843.5)     		ty = 42843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70117 / 42843 ti = "17/70117/42843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70117/42843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70117 ÷ 217
    70117 ÷ 131072     		x = 0.534950256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42843 ÷ 217
    42843 ÷ 131072     		y = 0.326866149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534950256347656 × 2 - 1) × π
    0.0699005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21959894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326866149902344 × 2 - 1) × π
    0.346267700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08783206307793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21959894} λ = 0.21959894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08783206307793))-π/2
    2×atan(2.96783301840709)-π/2
    2×1.24579774174807-π/2
    2.49159548349613-1.57079632675     		φ = 0.92079916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21959894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.582092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92079916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.757906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70117 KachelY 42843 0.21959894 0.92079916 12.582092 52.757906
    Oben rechts KachelX + 1 70118 KachelY 42843 0.21964687 0.92079916 12.584839 52.757906
    Unten links KachelX 70117 KachelY + 1 42844 0.21959894 0.92077015 12.582092 52.756243
    Unten rechts KachelX + 1 70118 KachelY + 1 42844 0.21964687 0.92077015 12.584839 52.756243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92079916-0.92077015) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92079916-0.92077015) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21959894-0.21964687) × cos(0.92079916) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.60518415026493 × 6371000     		do = 184.80026064873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21959894-0.21964687) × cos(0.92077015) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605207244451008 × 6371000     		du = 184.807312736272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92079916)-sin(0.92077015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60518415026493-0.605207244451008)×R²
    abs(0.21964687-0.21959894)×2.30941860781542e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30941860781542e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30941860781542e-05×40589641000000     		ar = 34155.9366772363m²