Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70115 / 42844
↖ ↑ ↗
← N 52.756243°
E 12.576599°		 ← 184.85 m → N 52.756243°
E 12.579346°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
N 52.754581°
E 12.576599°		 ← 184.85 m →
34 176 m²		 N 52.754581°
E 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534938812255859 y=0.326877593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534938812255859 × 217)
    floor (0.534938812255859 × 131072)
    floor (70115.5)     		tx = 70115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326877593994141 × 217)
    floor (0.326877593994141 × 131072)
    floor (42844.5)     		ty = 42844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70115 / 42844 ti = "17/70115/42844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70115/42844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70115 ÷ 217
    70115 ÷ 131072     		x = 0.534934997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42844 ÷ 217
    42844 ÷ 131072     		y = 0.326873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534934997558594 × 2 - 1) × π
    0.0698699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21950306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326873779296875 × 2 - 1) × π
    0.34625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08778412617831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21950306} λ = 0.21950306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08778412617831))-π/2
    2×atan(2.96769075310351)-π/2
    2×1.2457832361453-π/2
    2.49156647229059-1.57079632675     		φ = 0.92077015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21950306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.576599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92077015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.756243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70115 KachelY 42844 0.21950306 0.92077015 12.576599 52.756243
    Oben rechts KachelX + 1 70116 KachelY 42844 0.21955100 0.92077015 12.579346 52.756243
    Unten links KachelX 70115 KachelY + 1 42845 0.21950306 0.92074113 12.576599 52.754581
    Unten rechts KachelX + 1 70116 KachelY + 1 42845 0.21955100 0.92074113 12.579346 52.754581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92077015-0.92074113) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92077015-0.92074113) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21950306-0.21955100) × cos(0.92077015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605207244451008 × 6371000     		do = 184.845870489796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21950306-0.21955100) × cos(0.92074113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60523034608826 × 6371000     		du = 184.852926324449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92077015)-sin(0.92074113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605207244451008-0.60523034608826)×R²
    abs(0.21955100-0.21950306)×2.31016372517212e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31016372517212e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31016372517212e-05×40589641000000     		ar = 34176.1435129877m²