Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70115 / 42789
↖ ↑ ↗
← N 52.847571°
E 12.576599°		 ← 184.46 m → N 52.847571°
E 12.579346°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.845913°
E 12.576599°		 ← 184.47 m →
34 022 m²		 N 52.845913°
E 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534938812255859 y=0.326457977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534938812255859 × 217)
    floor (0.534938812255859 × 131072)
    floor (70115.5)     		tx = 70115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326457977294922 × 217)
    floor (0.326457977294922 × 131072)
    floor (42789.5)     		ty = 42789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70115 / 42789 ti = "17/70115/42789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70115/42789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70115 ÷ 217
    70115 ÷ 131072     		x = 0.534934997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42789 ÷ 217
    42789 ÷ 131072     		y = 0.326454162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534934997558594 × 2 - 1) × π
    0.0698699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21950306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326454162597656 × 2 - 1) × π
    0.347091674804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09042065565742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21950306} λ = 0.21950306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09042065565742))-π/2
    2×atan(2.97552548096596)-π/2
    2×1.24658022250985-π/2
    2.4931604450197-1.57079632675     		φ = 0.92236412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21950306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.576599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92236412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.847571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70115 KachelY 42789 0.21950306 0.92236412 12.576599 52.847571
    Oben rechts KachelX + 1 70116 KachelY 42789 0.21955100 0.92236412 12.579346 52.847571
    Unten links KachelX 70115 KachelY + 1 42790 0.21950306 0.92233517 12.576599 52.845913
    Unten rechts KachelX + 1 70116 KachelY + 1 42790 0.21955100 0.92233517 12.579346 52.845913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92236412-0.92233517) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92236412-0.92233517) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21950306-0.21955100) × cos(0.92236412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603937567710742 × 6371000     		do = 184.458078531839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21950306-0.21955100) × cos(0.92233517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603960641523257 × 6371000     		du = 184.465125868101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92236412)-sin(0.92233517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603937567710742-0.603960641523257)×R²
    abs(0.21955100-0.21950306)×2.30738125153174e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30738125153174e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30738125153174e-05×40589641000000     		ar = 34022.1809198656m²