Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70111 / 42790
↖ ↑ ↗
← N 52.845913°
E 12.565613°		 ← 184.43 m → N 52.845913°
E 12.568359°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.844253°
E 12.565613°		 ← 184.43 m →
34 028 m²		 N 52.844253°
E 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534908294677734 y=0.326465606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534908294677734 × 217)
    floor (0.534908294677734 × 131072)
    floor (70111.5)     		tx = 70111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326465606689453 × 217)
    floor (0.326465606689453 × 131072)
    floor (42790.5)     		ty = 42790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70111 / 42790 ti = "17/70111/42790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70111/42790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70111 ÷ 217
    70111 ÷ 131072     		x = 0.534904479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42790 ÷ 217
    42790 ÷ 131072     		y = 0.326461791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534904479980469 × 2 - 1) × π
    0.0698089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21931132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326461791992188 × 2 - 1) × π
    0.347076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0903727187578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21931132} λ = 0.21931132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0903727187578))-π/2
    2×atan(2.9753828469184)-π/2
    2×1.246565746786-π/2
    2.49313149357201-1.57079632675     		φ = 0.92233517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21931132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.565613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92233517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.845913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70111 KachelY 42790 0.21931132 0.92233517 12.565613 52.845913
    Oben rechts KachelX + 1 70112 KachelY 42790 0.21935925 0.92233517 12.568359 52.845913
    Unten links KachelX 70111 KachelY + 1 42791 0.21931132 0.92230621 12.565613 52.844253
    Unten rechts KachelX + 1 70112 KachelY + 1 42791 0.21935925 0.92230621 12.568359 52.844253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92233517-0.92230621) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92233517-0.92230621) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21931132-0.21935925) × cos(0.92233517) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603960641523257 × 6371000     		do = 184.42664753565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21931132-0.21935925) × cos(0.92230621) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603983722799558 × 6371000     		du = 184.433695681036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92233517)-sin(0.92230621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603960641523257-0.603983722799558)×R²
    abs(0.21935925-0.21931132)×2.30812763009069e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30812763009069e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30812763009069e-05×40589641000000     		ar = 34028.1338936626m²