Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70075 / 42867
↖ ↑ ↗
← N 52.717995°
E 12.466736°		 ← 184.97 m → N 52.717995°
E 12.469482°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 52.716331°
E 12.466736°		 ← 184.98 m →
34 223 m²		 N 52.716331°
E 12.469482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534633636474609 y=0.327053070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534633636474609 × 217)
    floor (0.534633636474609 × 131072)
    floor (70075.5)     		tx = 70075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327053070068359 × 217)
    floor (0.327053070068359 × 131072)
    floor (42867.5)     		ty = 42867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70075 / 42867 ti = "17/70075/42867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70075/42867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70075 ÷ 217
    70075 ÷ 131072     		x = 0.534629821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42867 ÷ 217
    42867 ÷ 131072     		y = 0.327049255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534629821777344 × 2 - 1) × π
    0.0692596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21758559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327049255371094 × 2 - 1) × π
    0.345901489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08668157748705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21758559} λ = 0.21758559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08668157748705))-π/2
    2×atan(2.96442053266751)-π/2
    2×1.24544945448117-π/2
    2.49089890896234-1.57079632675     		φ = 0.92010258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21758559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.466736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92010258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.717995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70075 KachelY 42867 0.21758559 0.92010258 12.466736 52.717995
    Oben rechts KachelX + 1 70076 KachelY 42867 0.21763352 0.92010258 12.469482 52.717995
    Unten links KachelX 70075 KachelY + 1 42868 0.21758559 0.92007354 12.466736 52.716331
    Unten rechts KachelX + 1 70076 KachelY + 1 42868 0.21763352 0.92007354 12.469482 52.716331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92010258-0.92007354) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92010258-0.92007354) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21758559-0.21763352) × cos(0.92010258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605738540642004 × 6371000     		do = 184.969550419686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21758559-0.21763352) × cos(0.92007354) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605761646462201 × 6371000     		du = 184.976606059846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92010258)-sin(0.92007354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605738540642004-0.605761646462201)×R²
    abs(0.21763352-0.21758559)×2.31058201966006e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.31058201966006e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31058201966006e-05×40589641000000     		ar = 34222.5795042435m²