Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70064 / 42864
↖ ↑ ↗
← N 52.722986°
E 12.436523°		 ← 184.99 m → N 52.722986°
E 12.439270°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 52.721322°
E 12.436523°		 ← 184.99 m →
34 226 m²		 N 52.721322°
E 12.439270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534549713134766 y=0.327030181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534549713134766 × 217)
    floor (0.534549713134766 × 131072)
    floor (70064.5)     		tx = 70064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327030181884766 × 217)
    floor (0.327030181884766 × 131072)
    floor (42864.5)     		ty = 42864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70064 / 42864 ti = "17/70064/42864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70064/42864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70064 ÷ 217
    70064 ÷ 131072     		x = 0.5345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42864 ÷ 217
    42864 ÷ 131072     		y = 0.3270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5345458984375 × 2 - 1) × π
    0.069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21705828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3270263671875 × 2 - 1) × π
    0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21705828} λ = 0.21705828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08682538818591))-π/2
    2×atan(2.96484687871186)-π/2
    2×1.24549300783058-π/2
    2.49098601566115-1.57079632675     		φ = 0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21705828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70064 KachelY 42864 0.21705828 0.92018969 12.436523 52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 70065 KachelY 42864 0.21710622 0.92018969 12.439270 52.722986
    Unten links KachelX 70064 KachelY + 1 42865 0.21705828 0.92016065 12.436523 52.721322
    Unten rechts KachelX + 1 70065 KachelY + 1 42865 0.21710622 0.92016065 12.439270 52.721322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92018969-0.92016065) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dl = 185.01383999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92018969-0.92016065) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dr = 185.01383999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21705828-0.21710622) × cos(0.92018969) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 184.986972179613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21705828-0.21710622) × cos(0.92016065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605692335426122 × 6371000     		du = 184.994029759837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92018969)-sin(0.92016065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.605692335426122)×R²
    abs(0.21710622-0.21705828)×2.31073524592507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31073524592507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31073524592507e-05×40589641000000     		ar = 34225.8029502856m²