Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70063 / 42857
↖ ↑ ↗
← N 52.734629°
E 12.433777°		 ← 184.94 m → N 52.734629°
E 12.436523°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.732965°
E 12.433777°		 ← 184.94 m →
34 205 m²		 N 52.732965°
E 12.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534542083740234 y=0.326976776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534542083740234 × 217)
    floor (0.534542083740234 × 131072)
    floor (70063.5)     		tx = 70063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326976776123047 × 217)
    floor (0.326976776123047 × 131072)
    floor (42857.5)     		ty = 42857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70063 / 42857 ti = "17/70063/42857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70063/42857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70063 ÷ 217
    70063 ÷ 131072     		x = 0.534538269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42857 ÷ 217
    42857 ÷ 131072     		y = 0.326972961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534538269042969 × 2 - 1) × π
    0.0690765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21701034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326972961425781 × 2 - 1) × π
    0.346054077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08716094648325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21701034} λ = 0.21701034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08716094648325))-π/2
    2×atan(2.96584192462097)-π/2
    2×1.24559461293213-π/2
    2.49118922586427-1.57079632675     		φ = 0.92039290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21701034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.433777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92039290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.734629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70063 KachelY 42857 0.21701034 0.92039290 12.433777 52.734629
    Oben rechts KachelX + 1 70064 KachelY 42857 0.21705828 0.92039290 12.436523 52.734629
    Unten links KachelX 70063 KachelY + 1 42858 0.21701034 0.92036387 12.433777 52.732965
    Unten rechts KachelX + 1 70064 KachelY + 1 42858 0.21705828 0.92036387 12.436523 52.732965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92039290-0.92036387) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92039290-0.92036387) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21701034-0.21705828) × cos(0.92039290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605507518014641 × 6371000     		do = 184.937581765171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21701034-0.21705828) × cos(0.92036387) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605530620982658 × 6371000     		du = 184.944638006273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92039290)-sin(0.92036387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605507518014641-0.605530620982658)×R²
    abs(0.21705828-0.21701034)×2.31029680168859e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31029680168859e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31029680168859e-05×40589641000000     		ar = 34204.882318211m²