Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70062 / 42858
↖ ↑ ↗
← N 52.732965°
E 12.431030°		 ← 184.91 m → N 52.732965°
E 12.433777°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.731302°
E 12.431030°		 ← 184.91 m →
34 199 m²		 N 52.731302°
E 12.433777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534534454345703 y=0.326984405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534534454345703 × 217)
    floor (0.534534454345703 × 131072)
    floor (70062.5)     		tx = 70062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326984405517578 × 217)
    floor (0.326984405517578 × 131072)
    floor (42858.5)     		ty = 42858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70062 / 42858 ti = "17/70062/42858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70062/42858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70062 ÷ 217
    70062 ÷ 131072     		x = 0.534530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42858 ÷ 217
    42858 ÷ 131072     		y = 0.326980590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534530639648438 × 2 - 1) × π
    0.069061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21696241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326980590820312 × 2 - 1) × π
    0.346038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08711300958363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21696241} λ = 0.21696241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08711300958363))-π/2
    2×atan(2.96569975476196)-π/2
    2×1.24558009957872-π/2
    2.49116019915744-1.57079632675     		φ = 0.92036387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21696241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92036387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.732965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70062 KachelY 42858 0.21696241 0.92036387 12.431030 52.732965
    Oben rechts KachelX + 1 70063 KachelY 42858 0.21701034 0.92036387 12.433777 52.732965
    Unten links KachelX 70062 KachelY + 1 42859 0.21696241 0.92033484 12.431030 52.731302
    Unten rechts KachelX + 1 70063 KachelY + 1 42859 0.21701034 0.92033484 12.433777 52.731302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92036387-0.92033484) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92036387-0.92033484) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21696241-0.21701034) × cos(0.92036387) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605530620982658 × 6371000     		do = 184.906059650431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21696241-0.21701034) × cos(0.92033484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605553723440369 × 6371000     		du = 184.913114263816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92036387)-sin(0.92033484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605530620982658-0.605553723440369)×R²
    abs(0.21701034-0.21696241)×2.31024577113104e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.31024577113104e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31024577113104e-05×40589641000000     		ar = 34199.0521484408m²