Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70061 / 42891
↖ ↑ ↗
← N 52.678047°
E 12.428284°		 ← 185.18 m → N 52.678047°
E 12.431030°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
N 52.676382°
E 12.428284°		 ← 185.18 m →
34 285 m²		 N 52.676382°
E 12.431030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534526824951172 y=0.327236175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534526824951172 × 217)
    floor (0.534526824951172 × 131072)
    floor (70061.5)     		tx = 70061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327236175537109 × 217)
    floor (0.327236175537109 × 131072)
    floor (42891.5)     		ty = 42891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70061 / 42891 ti = "17/70061/42891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70061/42891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70061 ÷ 217
    70061 ÷ 131072     		x = 0.534523010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42891 ÷ 217
    42891 ÷ 131072     		y = 0.327232360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534523010253906 × 2 - 1) × π
    0.0690460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21691447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327232360839844 × 2 - 1) × π
    0.345535278320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08553109189617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21691447} λ = 0.21691447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08553109189617))-π/2
    2×atan(2.96101197068606)-π/2
    2×1.24510084824628-π/2
    2.49020169649256-1.57079632675     		φ = 0.91940537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21691447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.428284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91940537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.678047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70061 KachelY 42891 0.21691447 0.91940537 12.428284 52.678047
    Oben rechts KachelX + 1 70062 KachelY 42891 0.21696241 0.91940537 12.431030 52.678047
    Unten links KachelX 70061 KachelY + 1 42892 0.21691447 0.91937631 12.428284 52.676382
    Unten rechts KachelX + 1 70062 KachelY + 1 42892 0.21696241 0.91937631 12.431030 52.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91940537-0.91937631) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91940537-0.91937631) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21691447-0.21696241) × cos(0.91940537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606293138102498 × 6371000     		do = 185.177530361863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21691447-0.21696241) × cos(0.91937631) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606316247556943 × 6371000     		du = 185.184588584088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91940537)-sin(0.91937631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606293138102498-0.606316247556943)×R²
    abs(0.21696241-0.21691447)×2.31094544451693e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31094544451693e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31094544451693e-05×40589641000000     		ar = 34284.6546814899m²