Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70061 / 42859
↖ ↑ ↗
← N 52.731302°
E 12.428284°		 ← 184.95 m → N 52.731302°
E 12.431030°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
N 52.729639°
E 12.428284°		 ← 184.96 m →
34 196 m²		 N 52.729639°
E 12.431030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534526824951172 y=0.326992034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534526824951172 × 217)
    floor (0.534526824951172 × 131072)
    floor (70061.5)     		tx = 70061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326992034912109 × 217)
    floor (0.326992034912109 × 131072)
    floor (42859.5)     		ty = 42859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70061 / 42859 ti = "17/70061/42859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70061/42859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70061 ÷ 217
    70061 ÷ 131072     		x = 0.534523010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42859 ÷ 217
    42859 ÷ 131072     		y = 0.326988220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534523010253906 × 2 - 1) × π
    0.0690460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21691447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326988220214844 × 2 - 1) × π
    0.346023559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08706507268401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21691447} λ = 0.21691447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08706507268401))-π/2
    2×atan(2.96555759171797)-π/2
    2×1.24556558567163-π/2
    2.49113117134325-1.57079632675     		φ = 0.92033484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21691447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.428284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92033484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.731302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70061 KachelY 42859 0.21691447 0.92033484 12.428284 52.731302
    Oben rechts KachelX + 1 70062 KachelY 42859 0.21696241 0.92033484 12.431030 52.731302
    Unten links KachelX 70061 KachelY + 1 42860 0.21691447 0.92030582 12.428284 52.729639
    Unten rechts KachelX + 1 70062 KachelY + 1 42860 0.21696241 0.92030582 12.431030 52.729639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92033484-0.92030582) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92033484-0.92030582) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21691447-0.21696241) × cos(0.92033484) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605553723440369 × 6371000     		do = 184.951694091516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21691447-0.21696241) × cos(0.92030582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605576817429887 × 6371000     		du = 184.958747590354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92033484)-sin(0.92030582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605553723440369-0.605576817429887)×R²
    abs(0.21696241-0.21691447)×2.30939895179416e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30939895179416e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30939895179416e-05×40589641000000     		ar = 34195.7086439014m²