Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70059 / 42885
↖ ↑ ↗
← N 52.688037°
E 12.422791°		 ← 185.10 m → N 52.688037°
E 12.425537°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
N 52.686372°
E 12.422791°		 ← 185.10 m →
34 270 m²		 N 52.686372°
E 12.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534511566162109 y=0.327190399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534511566162109 × 217)
    floor (0.534511566162109 × 131072)
    floor (70059.5)     		tx = 70059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327190399169922 × 217)
    floor (0.327190399169922 × 131072)
    floor (42885.5)     		ty = 42885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70059 / 42885 ti = "17/70059/42885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70059/42885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70059 ÷ 217
    70059 ÷ 131072     		x = 0.534507751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42885 ÷ 217
    42885 ÷ 131072     		y = 0.327186584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534507751464844 × 2 - 1) × π
    0.0690155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21681860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327186584472656 × 2 - 1) × π
    0.345626831054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08581871329389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21681860} λ = 0.21681860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08581871329389))-π/2
    2×atan(2.96186374357592)-π/2
    2×1.24518802971496-π/2
    2.49037605942992-1.57079632675     		φ = 0.91957973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21681860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.422791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91957973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.688037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70059 KachelY 42885 0.21681860 0.91957973 12.422791 52.688037
    Oben rechts KachelX + 1 70060 KachelY 42885 0.21686653 0.91957973 12.425537 52.688037
    Unten links KachelX 70059 KachelY + 1 42886 0.21681860 0.91955067 12.422791 52.686372
    Unten rechts KachelX + 1 70060 KachelY + 1 42886 0.21686653 0.91955067 12.425537 52.686372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91957973-0.91955067) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91957973-0.91955067) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21681860-0.21686653) × cos(0.91957973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.606154470624413 × 6371000     		do = 185.096559643452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21681860-0.21686653) × cos(0.91955067) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.606177583150593 × 6371000     		du = 185.103617331365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91957973)-sin(0.91955067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606154470624413-0.606177583150593)×R²
    abs(0.21686653-0.21681860)×2.31125261801468e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.31125261801468e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31125261801468e-05×40589641000000     		ar = 34269.6636111715m²