Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70058 / 42890
↖ ↑ ↗
← N 52.679712°
E 12.420044°		 ← 185.17 m → N 52.679712°
E 12.422791°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
N 52.678047°
E 12.420044°		 ← 185.18 m →
34 283 m²		 N 52.678047°
E 12.422791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534503936767578 y=0.327228546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534503936767578 × 217)
    floor (0.534503936767578 × 131072)
    floor (70058.5)     		tx = 70058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327228546142578 × 217)
    floor (0.327228546142578 × 131072)
    floor (42890.5)     		ty = 42890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70058 / 42890 ti = "17/70058/42890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70058/42890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70058 ÷ 217
    70058 ÷ 131072     		x = 0.534500122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42890 ÷ 217
    42890 ÷ 131072     		y = 0.327224731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534500122070312 × 2 - 1) × π
    0.069000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21677066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327224731445312 × 2 - 1) × π
    0.345550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08557902879579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21677066} λ = 0.21677066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08557902879579))-π/2
    2×atan(2.96115391582185)-π/2
    2×1.24511537987595-π/2
    2.4902307597519-1.57079632675     		φ = 0.91943443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21677066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91943443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.679712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70058 KachelY 42890 0.21677066 0.91943443 12.420044 52.679712
    Oben rechts KachelX + 1 70059 KachelY 42890 0.21681860 0.91943443 12.422791 52.679712
    Unten links KachelX 70058 KachelY + 1 42891 0.21677066 0.91940537 12.420044 52.678047
    Unten rechts KachelX + 1 70059 KachelY + 1 42891 0.21681860 0.91940537 12.422791 52.678047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91943443-0.91940537) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91943443-0.91940537) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21677066-0.21681860) × cos(0.91943443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606270028136048 × 6371000     		do = 185.170471983259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21677066-0.21681860) × cos(0.91940537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606293138102498 × 6371000     		du = 185.177530361863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91943443)-sin(0.91940537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606270028136048-0.606293138102498)×R²
    abs(0.21681860-0.21677066)×2.31099664497192e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31099664497192e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31099664497192e-05×40589641000000     		ar = 34283.3478987412m²