Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70055 / 42834
↖ ↑ ↗
← N 52.772863°
E 12.411804°		 ← 184.78 m → N 52.772863°
E 12.414551°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.771201°
E 12.411804°		 ← 184.78 m →
34 140 m²		 N 52.771201°
E 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534481048583984 y=0.326801300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534481048583984 × 217)
    floor (0.534481048583984 × 131072)
    floor (70055.5)     		tx = 70055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326801300048828 × 217)
    floor (0.326801300048828 × 131072)
    floor (42834.5)     		ty = 42834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70055 / 42834 ti = "17/70055/42834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70055/42834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70055 ÷ 217
    70055 ÷ 131072     		x = 0.534477233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42834 ÷ 217
    42834 ÷ 131072     		y = 0.326797485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534477233886719 × 2 - 1) × π
    0.0689544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21662685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326797485351562 × 2 - 1) × π
    0.346405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08826349517451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21662685} λ = 0.21662685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08826349517451))-π/2
    2×atan(2.96911371307505)-π/2
    2×1.24592826726431-π/2
    2.49185653452862-1.57079632675     		φ = 0.92106021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21662685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.411804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92106021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.772863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70055 KachelY 42834 0.21662685 0.92106021 12.411804 52.772863
    Oben rechts KachelX + 1 70056 KachelY 42834 0.21667479 0.92106021 12.414551 52.772863
    Unten links KachelX 70055 KachelY + 1 42835 0.21662685 0.92103121 12.411804 52.771201
    Unten rechts KachelX + 1 70056 KachelY + 1 42835 0.21667479 0.92103121 12.414551 52.771201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92106021-0.92103121) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92106021-0.92103121) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21662685-0.21667479) × cos(0.92106021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.604976311523306 × 6371000     		do = 184.775337629462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21662685-0.21667479) × cos(0.92103121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.604999402329522 × 6371000     		du = 184.782390156038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92106021)-sin(0.92103121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604976311523306-0.604999402329522)×R²
    abs(0.21667479-0.21662685)×2.30908062156532e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30908062156532e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30908062156532e-05×40589641000000     		ar = 34139.5581163341m²