Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70048 / 42976
↖ ↑ ↗
← N 52.536273°
E 12.392578°		 ← 185.78 m → N 52.536273°
E 12.395325°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 52.534602°
E 12.392578°		 ← 185.79 m →
34 514 m²		 N 52.534602°
E 12.395325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534427642822266 y=0.327884674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534427642822266 × 217)
    floor (0.534427642822266 × 131072)
    floor (70048.5)     		tx = 70048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327884674072266 × 217)
    floor (0.327884674072266 × 131072)
    floor (42976.5)     		ty = 42976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70048 / 42976 ti = "17/70048/42976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70048/42976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70048 ÷ 217
    70048 ÷ 131072     		x = 0.534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42976 ÷ 217
    42976 ÷ 131072     		y = 0.327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534423828125 × 2 - 1) × π
    0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327880859375 × 2 - 1) × π
    0.34423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08145645542847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21629129} λ = 0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08145645542847))-π/2
    2×atan(2.94897147031863)-π/2
    2×1.24386363403815-π/2
    2.4877272680763-1.57079632675     		φ = 0.91693094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91693094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.536273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70048 KachelY 42976 0.21629129 0.91693094 12.392578 52.536273
    Oben rechts KachelX + 1 70049 KachelY 42976 0.21633923 0.91693094 12.395325 52.536273
    Unten links KachelX 70048 KachelY + 1 42977 0.21629129 0.91690178 12.392578 52.534602
    Unten rechts KachelX + 1 70049 KachelY + 1 42977 0.21633923 0.91690178 12.395325 52.534602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91693094-0.91690178) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91693094-0.91690178) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21629129-0.21633923) × cos(0.91693094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.608259048771312 × 6371000     		do = 185.77797008266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21629129-0.21633923) × cos(0.91690178) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.608282193929629 × 6371000     		du = 185.785039209766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91693094)-sin(0.91690178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608259048771312-0.608282193929629)×R²
    abs(0.21633923-0.21629129)×2.31451583168063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31451583168063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31451583168063e-05×40589641000000     		ar = 34514.1832538985m²