Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70047 / 42840
↖ ↑ ↗
← N 52.762892°
E 12.389831°		 ← 184.82 m → N 52.762892°
E 12.392578°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.761230°
E 12.389831°		 ← 184.82 m →
34 147 m²		 N 52.761230°
E 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534420013427734 y=0.326847076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534420013427734 × 217)
    floor (0.534420013427734 × 131072)
    floor (70047.5)     		tx = 70047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326847076416016 × 217)
    floor (0.326847076416016 × 131072)
    floor (42840.5)     		ty = 42840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70047 / 42840 ti = "17/70047/42840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70047/42840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70047 ÷ 217
    70047 ÷ 131072     		x = 0.534416198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42840 ÷ 217
    42840 ÷ 131072     		y = 0.32684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534416198730469 × 2 - 1) × π
    0.0688323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21624335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32684326171875 × 2 - 1) × π
    0.3463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08797587377679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21624335} λ = 0.21624335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08797587377679))-π/2
    2×atan(2.96825985523869)-π/2
    2×1.24584125523511-π/2
    2.49168251047023-1.57079632675     		φ = 0.92088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21624335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.389831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.762892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70047 KachelY 42840 0.21624335 0.92088618 12.389831 52.762892
    Oben rechts KachelX + 1 70048 KachelY 42840 0.21629129 0.92088618 12.392578 52.762892
    Unten links KachelX 70047 KachelY + 1 42841 0.21624335 0.92085718 12.389831 52.761230
    Unten rechts KachelX + 1 70048 KachelY + 1 42841 0.21629129 0.92085718 12.392578 52.761230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92088618-0.92085718) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92088618-0.92085718) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21624335-0.21629129) × cos(0.92088618) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605114872612289 × 6371000     		do = 184.8176577526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21624335-0.21629129) × cos(0.92085718) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60513796036486 × 6371000     		du = 184.824709346514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92088618)-sin(0.92085718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605114872612289-0.60513796036486)×R²
    abs(0.21629129-0.21624335)×2.30877525708717e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30877525708717e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30877525708717e-05×40589641000000     		ar = 34147.3770538134m²