Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69985 / 42911
↖ ↑ ↗
← N 52.644730°
E 12.219544°		 ← 185.28 m → N 52.644730°
E 12.222290°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
N 52.643064°
E 12.219544°		 ← 185.29 m →
34 327 m²		 N 52.643064°
E 12.222290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533946990966797 y=0.327388763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533946990966797 × 217)
    floor (0.533946990966797 × 131072)
    floor (69985.5)     		tx = 69985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327388763427734 × 217)
    floor (0.327388763427734 × 131072)
    floor (42911.5)     		ty = 42911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69985 / 42911 ti = "17/69985/42911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69985/42911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69985 ÷ 217
    69985 ÷ 131072     		x = 0.533943176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42911 ÷ 217
    42911 ÷ 131072     		y = 0.327384948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533943176269531 × 2 - 1) × π
    0.0678863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21327127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327384948730469 × 2 - 1) × π
    0.345230102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08457235390377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21327127} λ = 0.21327127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08457235390377))-π/2
    2×atan(2.95817449642834)-π/2
    2×1.24481009930605-π/2
    2.48962019861209-1.57079632675     		φ = 0.91882387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21327127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.219544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91882387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.644730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69985 KachelY 42911 0.21327127 0.91882387 12.219544 52.644730
    Oben rechts KachelX + 1 69986 KachelY 42911 0.21331920 0.91882387 12.222290 52.644730
    Unten links KachelX 69985 KachelY + 1 42912 0.21327127 0.91879479 12.219544 52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 69986 KachelY + 1 42912 0.21331920 0.91879479 12.222290 52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91882387-0.91879479) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91882387-0.91879479) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21327127-0.21331920) × cos(0.91882387) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606755468351163 × 6371000     		do = 185.280081529211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21327127-0.21331920) × cos(0.91879479) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 185.287140003798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91882387)-sin(0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606755468351163-0.606778583453547)×R²
    abs(0.21331920-0.21327127)×2.31151023836196e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31151023836196e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31151023836196e-05×40589641000000     		ar = 34327.2499947103m²