Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69983 / 42913
↖ ↑ ↗
← N 52.641397°
E 12.214050°		 ← 185.33 m → N 52.641397°
E 12.216797°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
N 52.639730°
E 12.214050°		 ← 185.34 m →
34 349 m²		 N 52.639730°
E 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533931732177734 y=0.327404022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533931732177734 × 217)
    floor (0.533931732177734 × 131072)
    floor (69983.5)     		tx = 69983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327404022216797 × 217)
    floor (0.327404022216797 × 131072)
    floor (42913.5)     		ty = 42913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69983 / 42913 ti = "17/69983/42913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69983/42913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69983 ÷ 217
    69983 ÷ 131072     		x = 0.533927917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42913 ÷ 217
    42913 ÷ 131072     		y = 0.327400207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533927917480469 × 2 - 1) × π
    0.0678558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21317539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327400207519531 × 2 - 1) × π
    0.345199584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08447648010453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21317539} λ = 0.21317539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08447648010453))-π/2
    2×atan(2.95789089859557)-π/2
    2×1.24478101222182-π/2
    2.48956202444364-1.57079632675     		φ = 0.91876570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21317539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.214050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91876570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.641397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69983 KachelY 42913 0.21317539 0.91876570 12.214050 52.641397
    Oben rechts KachelX + 1 69984 KachelY 42913 0.21322333 0.91876570 12.216797 52.641397
    Unten links KachelX 69983 KachelY + 1 42914 0.21317539 0.91873661 12.214050 52.639730
    Unten rechts KachelX + 1 69984 KachelY + 1 42914 0.21322333 0.91873661 12.216797 52.639730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91876570-0.91873661) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dl = 185.332390000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91876570-0.91873661) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dr = 185.332390000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21317539-0.21322333) × cos(0.91876570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606801705991343 × 6371000     		do = 185.332860085654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21317539-0.21322333) × cos(0.91873661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606824828015646 × 6371000     		du = 185.339922147037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91876570)-sin(0.91873661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606801705991343-0.606824828015646)×R²
    abs(0.21322333-0.21317539)×2.31220243034347e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31220243034347e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31220243034347e-05×40589641000000     		ar = 34348.836321971m²