Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6996 / 11348
↖ ↑ ↗
← S 56.800878°
W 26.279297°		 ← 1 337.82 m → S 56.800878°
W 26.257324°		 →
↑
1 337.59 m
↓
↑
1 337.59 m
↓
S 56.812907°
W 26.279297°		 ← 1 337.39 m →
1 789 167 m²		 S 56.812907°
W 26.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427032470703125 y=0.692657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427032470703125 × 214)
    floor (0.427032470703125 × 16384)
    floor (6996.5)     		tx = 6996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692657470703125 × 214)
    floor (0.692657470703125 × 16384)
    floor (11348.5)     		ty = 11348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6996 / 11348 ti = "14/6996/11348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6996/11348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6996 ÷ 214
    6996 ÷ 16384     		x = 0.427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11348 ÷ 214
    11348 ÷ 16384     		y = 0.692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45866026} λ = -0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21031084160718))-π/2
    2×atan(0.298104601713085)-π/2
    2×0.289716991119516-π/2
    0.579433982239032-1.57079632675     		φ = -0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6996 KachelY 11348 -0.45866026 -0.99136234 -26.279297 -56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 6997 KachelY 11348 -0.45827676 -0.99136234 -26.257324 -56.800878
    Unten links KachelX 6996 KachelY + 1 11349 -0.45866026 -0.99157229 -26.279297 -56.812907
    Unten rechts KachelX + 1 6997 KachelY + 1 11349 -0.45827676 -0.99157229 -26.257324 -56.812907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99136234--0.99157229) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dl = 1337.59145000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99136234--0.99157229) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dr = 1337.59145000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45866026--0.45827676) × cos(-0.99136234) × R
    0.000383499999999981 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 1337.81812029481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45866026--0.45827676) × cos(-0.99157229) × R
    0.000383499999999981 × 0.547374707630456 × 6371000     		du = 1337.38885459721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99136234)-sin(-0.99157229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.547374707630456)×R²
    abs(-0.45827676--0.45866026)×0.000175692495797741×R²
    0.000383499999999981×0.000175692495797741×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175692495797741×40589641000000     		ar = 1789166.99487044m²