Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6994 / 11349
↖ ↑ ↗
← S 56.812907°
W 26.323242°		 ← 1 337.39 m → S 56.812907°
W 26.301269°		 →
↑
1 337.21 m
↓
↑
1 337.21 m
↓
S 56.824933°
W 26.323242°		 ← 1 336.96 m →
1 788 082 m²		 S 56.824933°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426910400390625 y=0.692718505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426910400390625 × 214)
    floor (0.426910400390625 × 16384)
    floor (6994.5)     		tx = 6994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692718505859375 × 214)
    floor (0.692718505859375 × 16384)
    floor (11349.5)     		ty = 11349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6994 / 11349 ti = "14/6994/11349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6994/11349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6994 ÷ 214
    6994 ÷ 16384     		x = 0.4268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11349 ÷ 214
    11349 ÷ 16384     		y = 0.69268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3853759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21069433680414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45942725} λ = -0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21069433680414))-π/2
    2×atan(0.297990301948242)-π/2
    2×0.289612016490739-π/2
    0.579224032981478-1.57079632675     		φ = -0.99157229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99157229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.812907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6994 KachelY 11349 -0.45942725 -0.99157229 -26.323242 -56.812907
    Oben rechts KachelX + 1 6995 KachelY 11349 -0.45904375 -0.99157229 -26.301269 -56.812907
    Unten links KachelX 6994 KachelY + 1 11350 -0.45942725 -0.99178218 -26.323242 -56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 6995 KachelY + 1 11350 -0.45904375 -0.99178218 -26.301269 -56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99157229--0.99178218) × R
    0.000209889999999935 × 6371000     		dl = 1337.20918999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99157229--0.99178218) × R
    0.000209889999999935 × 6371000     		dr = 1337.20918999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45942725--0.45904375) × cos(-0.99157229) × R
    0.000383500000000037 × 0.547374707630456 × 6371000     		do = 1337.38885459741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45942725--0.45904375) × cos(-0.99178218) × R
    0.000383500000000037 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 1336.95965265086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99157229)-sin(-0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547374707630456-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.45904375--0.45942725)×0.00017566640337674×R²
    0.000383500000000037×0.00017566640337674×6371000²
    0.000383500000000037×0.00017566640337674×40589641000000     		ar = 1788081.70714006m²