Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6993 / 11350
↖ ↑ ↗
← S 56.824933°
W 26.345215°		 ← 1 336.92 m → S 56.824933°
W 26.323242°		 →
↑
1 336.70 m
↓
↑
1 336.70 m
↓
S 56.836954°
W 26.345215°		 ← 1 336.50 m →
1 786 780 m²		 S 56.836954°
W 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426849365234375 y=0.692779541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426849365234375 × 214)
    floor (0.426849365234375 × 16384)
    floor (6993.5)     		tx = 6993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692779541015625 × 214)
    floor (0.692779541015625 × 16384)
    floor (11350.5)     		ty = 11350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6993 / 11350 ti = "14/6993/11350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6993/11350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6993 ÷ 214
    6993 ÷ 16384     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11350 ÷ 214
    11350 ÷ 16384     		y = 0.6927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2110778320011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2110778320011))-π/2
    2×atan(0.297876046008407)-π/2
    2×0.289507075547364-π/2
    0.579014151094728-1.57079632675     		φ = -0.99178218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99178218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.824933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6993 KachelY 11350 -0.45981074 -0.99178218 -26.345215 -56.824933
    Oben rechts KachelX + 1 6994 KachelY 11350 -0.45942725 -0.99178218 -26.323242 -56.824933
    Unten links KachelX 6993 KachelY + 1 11351 -0.45981074 -0.99199199 -26.345215 -56.836954
    Unten rechts KachelX + 1 6994 KachelY + 1 11351 -0.45942725 -0.99199199 -26.323242 -56.836954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99178218--0.99199199) × R
    0.000209810000000088 × 6371000     		dl = 1336.69951000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99178218--0.99199199) × R
    0.000209810000000088 × 6371000     		dr = 1336.69951000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(-0.99178218) × R
    0.000383489999999986 × 0.547199041227079 × 6371000     		do = 1336.92479059977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(-0.99199199) × R
    0.000383489999999986 × 0.547023417686885 × 6371000     		du = 1336.4957045689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99178218)-sin(-0.99199199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547199041227079-0.547023417686885)×R²
    abs(-0.45942725--0.45981074)×0.000175623540194403×R²
    0.000383489999999986×0.000175623540194403×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175623540194403×40589641000000     		ar = 1786779.93951408m²