Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6993 / 11343
↖ ↑ ↗
← S 56.740675°
W 26.345215°		 ← 1 339.93 m → S 56.740675°
W 26.323242°		 →
↑
1 339.69 m
↓
↑
1 339.69 m
↓
S 56.752723°
W 26.345215°		 ← 1 339.50 m →
1 794 809 m²		 S 56.752723°
W 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426849365234375 y=0.692352294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426849365234375 × 214)
    floor (0.426849365234375 × 16384)
    floor (6993.5)     		tx = 6993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692352294921875 × 214)
    floor (0.692352294921875 × 16384)
    floor (11343.5)     		ty = 11343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6993 / 11343 ti = "14/6993/11343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6993/11343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6993 ÷ 214
    6993 ÷ 16384     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11343 ÷ 214
    11343 ÷ 16384     		y = 0.69232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.3846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20839336562238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20839336562238))-π/2
    2×atan(0.298676758500974)-π/2
    2×0.290242369760745-π/2
    0.58048473952149-1.57079632675     		φ = -0.99031159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99031159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.740675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6993 KachelY 11343 -0.45981074 -0.99031159 -26.345215 -56.740675
    Oben rechts KachelX + 1 6994 KachelY 11343 -0.45942725 -0.99031159 -26.323242 -56.740675
    Unten links KachelX 6993 KachelY + 1 11344 -0.45981074 -0.99052187 -26.345215 -56.752723
    Unten rechts KachelX + 1 6994 KachelY + 1 11344 -0.45942725 -0.99052187 -26.323242 -56.752723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99031159--0.99052187) × R
    0.000210280000000007 × 6371000     		dl = 1339.69388000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99031159--0.99052187) × R
    0.000210280000000007 × 6371000     		dr = 1339.69388000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(-0.99031159) × R
    0.000383489999999986 × 0.54842933661544 × 6371000     		do = 1339.93066648868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(-0.99052187) × R
    0.000383489999999986 × 0.548253489006567 × 6371000     		du = 1339.5010330099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99031159)-sin(-0.99052187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54842933661544-0.548253489006567)×R²
    abs(-0.45942725--0.45981074)×0.00017584760887368×R²
    0.000383489999999986×0.00017584760887368×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017584760887368×40589641000000     		ar = 1794809.13146298m²