Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69918 / 42854
↖ ↑ ↗
← N 52.739617°
E 12.035522°		 ← 184.92 m → N 52.739617°
E 12.038269°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
N 52.737955°
E 12.035522°		 ← 184.92 m →
34 189 m²		 N 52.737955°
E 12.038269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533435821533203 y=0.326953887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533435821533203 × 217)
    floor (0.533435821533203 × 131072)
    floor (69918.5)     		tx = 69918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326953887939453 × 217)
    floor (0.326953887939453 × 131072)
    floor (42854.5)     		ty = 42854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69918 / 42854 ti = "17/69918/42854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69918/42854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69918 ÷ 217
    69918 ÷ 131072     		x = 0.533432006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42854 ÷ 217
    42854 ÷ 131072     		y = 0.326950073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533432006835938 × 2 - 1) × π
    0.066864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21005949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326950073242188 × 2 - 1) × π
    0.346099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08730475718211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21005949} λ = 0.21005949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08730475718211))-π/2
    2×atan(2.96626847509139)-π/2
    2×1.24563814967035-π/2
    2.49127629934071-1.57079632675     		φ = 0.92047997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21005949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.035522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92047997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.739617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69918 KachelY 42854 0.21005949 0.92047997 12.035522 52.739617
    Oben rechts KachelX + 1 69919 KachelY 42854 0.21010743 0.92047997 12.038269 52.739617
    Unten links KachelX 69918 KachelY + 1 42855 0.21005949 0.92045095 12.035522 52.737955
    Unten rechts KachelX + 1 69919 KachelY + 1 42855 0.21010743 0.92045095 12.038269 52.737955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92047997-0.92045095) × R
    2.90200000000462e-05 × 6371000     		dl = 184.886420000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92047997-0.92045095) × R
    2.90200000000462e-05 × 6371000     		dr = 184.886420000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21005949-0.21010743) × cos(0.92047997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605438221966799 × 6371000     		do = 184.916416968587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21005949-0.21010743) × cos(0.92045095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605461318506516 × 6371000     		du = 184.923471246321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92047997)-sin(0.92045095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605438221966799-0.605461318506516)×R²
    abs(0.21010743-0.21005949)×2.30965397175487e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30965397175487e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30965397175487e-05×40589641000000     		ar = 34189.1864550278m²