Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6984 / 11336
↖ ↑ ↗
← S 56.656226°
W 26.542969°		 ← 1 342.98 m → S 56.656226°
W 26.520996°		 →
↑
1 342.75 m
↓
↑
1 342.75 m
↓
S 56.668302°
W 26.542969°		 ← 1 342.55 m →
1 802 994 m²		 S 56.668302°
W 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426300048828125 y=0.691925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426300048828125 × 214)
    floor (0.426300048828125 × 16384)
    floor (6984.5)     		tx = 6984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691925048828125 × 214)
    floor (0.691925048828125 × 16384)
    floor (11336.5)     		ty = 11336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6984 / 11336 ti = "14/6984/11336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6984/11336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6984 ÷ 214
    6984 ÷ 16384     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11336 ÷ 214
    11336 ÷ 16384     		y = 0.69189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69189453125 × 2 - 1) × π
    -0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20570889924365))-π/2
    2×atan(0.299479623367001)-π/2
    2×0.290979316373292-π/2
    0.581958632746584-1.57079632675     		φ = -0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6984 KachelY 11336 -0.46326220 -0.98883769 -26.542969 -56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 6985 KachelY 11336 -0.46287870 -0.98883769 -26.520996 -56.656226
    Unten links KachelX 6984 KachelY + 1 11337 -0.46326220 -0.98904845 -26.542969 -56.668302
    Unten rechts KachelX + 1 6985 KachelY + 1 11337 -0.46287870 -0.98904845 -26.520996 -56.668302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98883769--0.98904845) × R
    0.000210759999999977 × 6371000     		dl = 1342.75195999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98883769--0.98904845) × R
    0.000210759999999977 × 6371000     		dr = 1342.75195999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46287870) × cos(-0.98883769) × R
    0.000383500000000037 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 1342.97541933479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46287870) × cos(-0.98904845) × R
    0.000383500000000037 × 0.549485132576589 × 6371000     		du = 1342.54521049416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98883769)-sin(-0.98904845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.549485132576589)×R²
    abs(-0.46287870--0.46326220)×0.000176078511162636×R²
    0.000383500000000037×0.000176078511162636×6371000²
    0.000383500000000037×0.000176078511162636×40589641000000     		ar = 1802994.05133511m²