Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69657 / 42759
↖ ↑ ↗
← N 52.897306°
E 11.318664°		 ← 184.25 m → N 52.897306°
E 11.321411°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 52.895649°
E 11.318664°		 ← 184.25 m →
33 948 m²		 N 52.895649°
E 11.321411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531444549560547 y=0.326229095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531444549560547 × 217)
    floor (0.531444549560547 × 131072)
    floor (69657.5)     		tx = 69657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326229095458984 × 217)
    floor (0.326229095458984 × 131072)
    floor (42759.5)     		ty = 42759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69657 / 42759 ti = "17/69657/42759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69657/42759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69657 ÷ 217
    69657 ÷ 131072     		x = 0.531440734863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42759 ÷ 217
    42759 ÷ 131072     		y = 0.326225280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531440734863281 × 2 - 1) × π
    0.0628814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19754796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326225280761719 × 2 - 1) × π
    0.347549438476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09185876264602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19754796} λ = 0.19754796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09185876264602))-π/2
    2×atan(2.97980768334946)-π/2
    2×1.24701423708981-π/2
    2.49402847417962-1.57079632675     		φ = 0.92323215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19754796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.318664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92323215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.897306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69657 KachelY 42759 0.19754796 0.92323215 11.318664 52.897306
    Oben rechts KachelX + 1 69658 KachelY 42759 0.19759590 0.92323215 11.321411 52.897306
    Unten links KachelX 69657 KachelY + 1 42760 0.19754796 0.92320323 11.318664 52.895649
    Unten rechts KachelX + 1 69658 KachelY + 1 42760 0.19759590 0.92320323 11.321411 52.895649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92323215-0.92320323) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dl = 184.249319999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92323215-0.92320323) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dr = 184.249319999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19754796-0.19759590) × cos(0.92323215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603245492908269 × 6371000     		do = 184.246701073159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19754796-0.19759590) × cos(0.92320323) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603268557962866 × 6371000     		du = 184.253745734527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92323215)-sin(0.92320323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603245492908269-0.603268557962866)×R²
    abs(0.19759590-0.19754796)×2.3065054597371e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3065054597371e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3065054597371e-05×40589641000000     		ar = 33947.9783743174m²