Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69643 / 42777
↖ ↑ ↗
← N 52.867472°
E 11.280213°		 ← 184.34 m → N 52.867472°
E 11.282959°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.865814°
E 11.280213°		 ← 184.34 m →
33 988 m²		 N 52.865814°
E 11.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531337738037109 y=0.326366424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531337738037109 × 217)
    floor (0.531337738037109 × 131072)
    floor (69643.5)     		tx = 69643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326366424560547 × 217)
    floor (0.326366424560547 × 131072)
    floor (42777.5)     		ty = 42777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69643 / 42777 ti = "17/69643/42777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69643/42777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69643 ÷ 217
    69643 ÷ 131072     		x = 0.531333923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42777 ÷ 217
    42777 ÷ 131072     		y = 0.326362609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531333923339844 × 2 - 1) × π
    0.0626678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19687685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326362609863281 × 2 - 1) × π
    0.347274780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.09099589845286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19687685} λ = 0.19687685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09099589845286))-π/2
    2×atan(2.977237622963)-π/2
    2×1.24675388805941-π/2
    2.49350777611882-1.57079632675     		φ = 0.92271145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19687685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.280213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92271145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.867472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69643 KachelY 42777 0.19687685 0.92271145 11.280213 52.867472
    Oben rechts KachelX + 1 69644 KachelY 42777 0.19692478 0.92271145 11.282959 52.867472
    Unten links KachelX 69643 KachelY + 1 42778 0.19687685 0.92268251 11.280213 52.865814
    Unten rechts KachelX + 1 69644 KachelY + 1 42778 0.19692478 0.92268251 11.282959 52.865814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92271145-0.92268251) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92271145-0.92268251) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19687685-0.19692478) × cos(0.92271145) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603660698292382 × 6371000     		do = 184.335056261785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19687685-0.19692478) × cos(0.92268251) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603683770204098 × 6371000     		du = 184.342101547583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92271145)-sin(0.92268251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603660698292382-0.603683770204098)×R²
    abs(0.19692478-0.19687685)×2.30719117157996e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30719117157996e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30719117157996e-05×40589641000000     		ar = 33987.7462369414m²