Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69640 / 42780
↖ ↑ ↗
← N 52.862497°
E 11.271973°		 ← 184.36 m → N 52.862497°
E 11.274719°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.860839°
E 11.271973°		 ← 184.36 m →
33 992 m²		 N 52.860839°
E 11.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531314849853516 y=0.326389312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531314849853516 × 217)
    floor (0.531314849853516 × 131072)
    floor (69640.5)     		tx = 69640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326389312744141 × 217)
    floor (0.326389312744141 × 131072)
    floor (42780.5)     		ty = 42780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69640 / 42780 ti = "17/69640/42780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69640/42780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69640 ÷ 217
    69640 ÷ 131072     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42780 ÷ 217
    42780 ÷ 131072     		y = 0.326385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326385498046875 × 2 - 1) × π
    0.34722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.090852087754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.090852087754))-π/2
    2×atan(2.97680949512518)-π/2
    2×1.24671047913757-π/2
    2.49342095827514-1.57079632675     		φ = 0.92262463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92262463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.862497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69640 KachelY 42780 0.19673304 0.92262463 11.271973 52.862497
    Oben rechts KachelX + 1 69641 KachelY 42780 0.19678097 0.92262463 11.274719 52.862497
    Unten links KachelX 69640 KachelY + 1 42781 0.19673304 0.92259569 11.271973 52.860839
    Unten rechts KachelX + 1 69641 KachelY + 1 42781 0.19678097 0.92259569 11.274719 52.860839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92262463-0.92259569) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92262463-0.92259569) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19678097) × cos(0.92262463) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		do = 184.356191655999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19678097) × cos(0.92259569) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603752982905571 × 6371000     		du = 184.363236478607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92262463)-sin(0.92259569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603729912510712-0.603752982905571)×R²
    abs(0.19678097-0.19673304)×2.30703948594924e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30703948594924e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30703948594924e-05×40589641000000     		ar = 33991.6430695094m²