Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69610 / 42788
↖ ↑ ↗
← N 52.849230°
E 11.189575°		 ← 184.45 m → N 52.849230°
E 11.192322°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.847571°
E 11.189575°		 ← 184.46 m →
34 021 m²		 N 52.847571°
E 11.192322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531085968017578 y=0.326450347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531085968017578 × 217)
    floor (0.531085968017578 × 131072)
    floor (69610.5)     		tx = 69610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326450347900391 × 217)
    floor (0.326450347900391 × 131072)
    floor (42788.5)     		ty = 42788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69610 / 42788 ti = "17/69610/42788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69610/42788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69610 ÷ 217
    69610 ÷ 131072     		x = 0.531082153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42788 ÷ 217
    42788 ÷ 131072     		y = 0.326446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531082153320312 × 2 - 1) × π
    0.062164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19529493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326446533203125 × 2 - 1) × π
    0.34710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09046859255704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19529493} λ = 0.19529493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09046859255704))-π/2
    2×atan(2.97566812185111)-π/2
    2×1.24659469768063-π/2
    2.49318939536127-1.57079632675     		φ = 0.92239307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19529493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.189575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92239307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.849230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69610 KachelY 42788 0.19529493 0.92239307 11.189575 52.849230
    Oben rechts KachelX + 1 69611 KachelY 42788 0.19534287 0.92239307 11.192322 52.849230
    Unten links KachelX 69610 KachelY + 1 42789 0.19529493 0.92236412 11.189575 52.847571
    Unten rechts KachelX + 1 69611 KachelY + 1 42789 0.19534287 0.92236412 11.192322 52.847571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92239307-0.92236412) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92239307-0.92236412) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19529493-0.19534287) × cos(0.92239307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603914493392065 × 6371000     		do = 184.451031040982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19529493-0.19534287) × cos(0.92236412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603937567710742 × 6371000     		du = 184.458078531839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92239307)-sin(0.92236412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603914493392065-0.603937567710742)×R²
    abs(0.19534287-0.19529493)×2.30743186768745e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30743186768745e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30743186768745e-05×40589641000000     		ar = 34020.8810917052m²