Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69543 / 42809
↖ ↑ ↗
← N 52.814383°
E 11.005554°		 ← 184.56 m → N 52.814383°
E 11.008301°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.812723°
E 11.005554°		 ← 184.57 m →
34 065 m²		 N 52.812723°
E 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530574798583984 y=0.326610565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530574798583984 × 217)
    floor (0.530574798583984 × 131072)
    floor (69543.5)     		tx = 69543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326610565185547 × 217)
    floor (0.326610565185547 × 131072)
    floor (42809.5)     		ty = 42809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69543 / 42809 ti = "17/69543/42809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69543/42809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69543 ÷ 217
    69543 ÷ 131072     		x = 0.530570983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42809 ÷ 217
    42809 ÷ 131072     		y = 0.326606750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530570983886719 × 2 - 1) × π
    0.0611419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19208316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326606750488281 × 2 - 1) × π
    0.346786499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08946191766502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19208316} λ = 0.19208316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08946191766502))-π/2
    2×atan(2.97267409872265)-π/2
    2×1.24629060293825-π/2
    2.4925812058765-1.57079632675     		φ = 0.92178488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19208316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.005554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92178488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.814383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69543 KachelY 42809 0.19208316 0.92178488 11.005554 52.814383
    Oben rechts KachelX + 1 69544 KachelY 42809 0.19213109 0.92178488 11.008301 52.814383
    Unten links KachelX 69543 KachelY + 1 42810 0.19208316 0.92175591 11.005554 52.812723
    Unten rechts KachelX + 1 69544 KachelY + 1 42810 0.19213109 0.92175591 11.008301 52.812723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92178488-0.92175591) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92178488-0.92175591) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19208316-0.19213109) × cos(0.92178488) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.604399138968247 × 6371000     		do = 184.560548005602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19208316-0.19213109) × cos(0.92175591) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		du = 184.567595643478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92178488)-sin(0.92175591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604399138968247-0.604422218582554)×R²
    abs(0.19213109-0.19208316)×2.30796143070311e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30796143070311e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30796143070311e-05×40589641000000     		ar = 34064.5976175988m²